¿Cuáles son las reglas para los vectores de componentes complejas y por qué?

Question

Quiero calcular el inverso de un producto punto, donde ambos vectores tienen componentes complejos. En otras palabras, si $\textbf{A} \cdot \textbf{B} = d$, y conozco $\textbf{A}$ y $d$, quiero encontrar un $\textbf{B}$. Sé que no puedo hacerlo de forma única, lo cual está bien; tengo un procedimiento para crear un conjunto de vectores que satisfarán $\textbf{A} \cdot \textbf{B} = d$. Sin embargo, esto depende de encontrar vectores que sean ortogonales a $\textbf{A}$ y entre sí. Normalmente esto no sería un problema; simplemente toma $\textbf{A$, ceros en todas las componentes salvo dos, intercambia las últimas dos y niega una de ellas. Asegúrate de que sea un par diferente cada vez. Para obtener más vectores ortogonales, puedes tomar productos cruz.

Las dificultades surgen cuando considero vectores con componentes complejas. Quiero normalizar cada uno de los vectores ortogonales, lo que significa dividir por sus magnitudes. He leído que necesitas dividir por $\sqrt{|v_x|^2 + |v_y|^2 + |v_z|^2 ...}$. ¿Cuál es la justificación para esto? Dado que solo estoy normalizando vectores, ¿realmente tengo que tomar las magnitudes de las componentes? Además, mi técnica para encontrar el inverso del producto punto se basa en la identidad $\textbf{A} \cdot \textbf{B} = d = |\textbf{A}||\textbf{B}|$. ¿Qué modificaciones podría necesitar hacer? Puedo proporcionar más detalles si la gente quiere. Además, si alguien tiene enlaces para leer, especialmente con respecto a las razones por las que, estaría muy agradecido.

Answer 1

No llamaría a esto el "inverso de un producto punto".

Dados los vectores complejos $v = (v_{1}, \ldots, v_{n})$ y $w = (w_{1}, \ldots, w_{n})$, su producto escalar (=punto) está dado por $v \cdot w = \sum_{j=1}^{n} v_{j} \overline{w}_{j} = v_{1} \overline{w}_{1} + \cdots + v_{n} \overline{w}_{n}$. ¿Por qué? Bueno, quieres generalizar el producto punto usual en $\mathbb{R}^{n}$, pero también quieres que $v \cdot v \geq 0$ para todo $v$, y el vector $(i,0,\ldots,0)$ muestra que no puedes hacerlo sin la conjugación. Podrías preguntar por qué, no me importa si $v \cdot v \geq 0$ para todo $v$. La mayoría de la gente sí: la expresión $\|v\| = \sqrt{v \cdot v}$ debería definir una norma y $\|v - w\|$ una métrica en $\mathbb{C}^{n}$, y tomar raíces cuadradas de números no positivos (o incluso números complejos) simplemente no está bien definido. Nota que $\|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} |v_{j}|^{2}}.

Habiendo resuelto esto, sea $v$ un vector no nulo. Su complemento ortogonal $U = v^{\perp} = \{u \in \mathbb{C}^{n}\,:u \cdot v = 0\}$ es el conjunto de todos los vectores ortogonales a $v$. Dado que $U$ está determinado por la única ecuación lineal $u_{1}\overline{v}_{1} + \cdots + u_{n}\overline{v}_{n} = 0$, es un subespacio de dimensión $(n-1)$ de $\mathbb{C}^{n}$. Encontrar soluciones se logra fácilmente usando eliminación de Gauss, esto te dará vectores $u_{1}, \cdots, u_{n-1}$, que puedes convertir en una base ortonomal de $U$ usando Gram-Schmidt (nota que la notación $\langle u, v \rangle = u \cdot v$ se debe entender. El hecho de que estés trabajando con $\mathbb{C}$ y no con $\mathbb{R}$ es irrelevante, solo ten cuidado en notar que $v \cdot (\lambda w) = \overline{\lambda} (v \cdot w)$, es decir, el producto punto es conjugado-lineal en la segunda variable.

Finalmente, para resolver la ecuación $w \cdot v = d$ simplemente toma cualquier $u \in U = v^{\perp}$ y pon $w = u + \frac{d}{v \cdot v} v$, y nota que $w \cdot v = (u + \frac{d}{v \cdot v}v) \cdot v = (u \cdot v) + \frac{d}{v \cdot v} v \cdot v = 0 + d = d$.

Answer 2

Sí, para tomar la longitud de un vector complejo necesitas las magnitudes al cuadrado de los componentes. Así que el vector $(1+i,1-i)$ tiene longitud $\sqrt{|1+i|^2+|1-i|^2}=\sqrt{2+2}=2

Todavía es verdad que el producto punto de vectores ortogonales es cero en un espacio complejo. Así que una vez que encuentres un $\textbf{B}$ paralelo a $\textbf{A}$ con $\textbf{A} \cdot \textbf{B} = d$ puedes añadir cualquier vector ortogonal a $\textbf{A}$ y el producto punto no cambiará. Pero cuando tomes el producto punto, recuerda tomar el conjugado complejo de los componentes de $\textbf{B}$