¿Cuándo es un módulo sobre $R$ y $S$ un módulo $R \otimes S$?

Question

Supongamos que $M$ es un módulo sobre $R$ y $S$, anillos conmutativos con $1$.

¿Bajo qué condiciones $M$ también es un módulo de $R \otimes S$?

También, una pregunta más general: ¿Cómo se puede construir una estructura de un módulo de $R \otimes S$? En otras palabras, cuando se quiere construir un mapa de $R \otimes S$ a otro anillo, se puede utilizar la propiedad universal de productos tensoriales. ¿Qué se puede hacer para tener una estructura de un módulo de $R \otimes S$?

Answer 1

La conmutatividad no es importante. Si $R, S$ son dos anillos y $M$ es un módulo (izquierdo) sobre ambos, entonces todo lo que sabes es que $M$ es un módulo (izquierdo) sobre el producto libre $R*S$ por la propiedad universal del producto libre (un nombre un poco engañoso ya que el producto libre es en realidad el coproducto en la categoría de anillos). El producto libre es muy diferente al producto tensorial, y entre otras cosas suele ser no conmutativo incluso si $R, S$ son conmutativos; por ejemplo, el producto libre de $\mathbb{Z}[x]$ consigo mismo es $\mathbb{Z} \langle x, y \rangle$, el anillo de polinomios no conmutativos en dos variables (por ejemplo, el anillo libre en dos elementos).

Para obtener una estructura de módulo $R \otimes S$ necesitas asumir que las acciones de $R$ y $S$ conmutan, es decir, que $r(s(m)) = s(r(m))$ para todo $r \in R, s \in S$.

Para obtener módulos $R \otimes S$ en general, toma un producto tensorial $M \otimes N$ donde $M$ es un $R$-módulo y $N$ es un $S$-módulo.

Answer 2

Para anillos generales, hay una correspondencia biunívoca entre las estructuras de bimódulo $R-S$ en $M$ y las estructuras de módulo $R\otimes S^{op}$ en $M.

En tu caso, cuando $S$ es conmutativo, esto equivale a un módulo $R\otimes S$. No puedo pensar inmediatamente en un ejemplo de un módulo sobre dos anillos conmutativos que no pueda ser un bimódulo sobre ellos... tal vez esto ya ha sido abordado en la publicación anterior de QY.

Actualización: Entonces, podrás obtener una estructura $R\otimes S$ exactamente cuando puedas obtener una estructura de bimódulo $R-S$. Esto es de hecho más restrictivo que ser simplemente un módulo sobre los dos anillos. Mariano Suárez-Álvarez presentó un buen ejemplo en Un módulo $R$ y un módulo $S$ que no pueden ser un bimódulo $R$-$S$ demostrando que no siempre es posible hacer un módulo $R\otimes S$ a partir de $M.

Answer 3

Creo que encontré una forma interesante de construir una estructura de módulo $R \otimes S$.

Observa que los datos de una estructura de módulo $R$ (para cualquier anillo $R$) vienen dados por:

• un grupo abeliano $M$, y
• un homomorfismo de anillos $R \rightarrow End(M)$, donde $End(M)$ es el anillo de endomorfismos de grupo de $M$ (donde las operaciones son la adición y la composición).

Dicho esto, para construir una estructura de módulo $R \otimes S$ en $M$, simplemente necesitamos un homomorfismo de anillos de $R \otimes S$ a $End(M)$. Esto se puede construir utilizando la propiedad universal típica de los productos tensoriales.

Como ejemplo, supongamos que $M$ es un módulo de $R$ y un módulo de $S$ de modo que las acciones de $R$ y $S$ conmutan. Supongamos que estas estructuras vienen dadas por los mapas $\varphi: R \rightarrow End(M)$ y $\psi: S \rightarrow End(M)$, entonces podemos definir una estructura de módulo $R \otimes S$ en $M$ a través del homomorfismo de anillos $r \otimes s \mapsto \varphi(r) \circ \psi(s)$.