Factor primo deseado del número enorme $\sum_{j=1}^{10} j!^{j!}$

Question

¿Cuál es el menor factor primo de $$\sum_{j=1}^{10} j!^{j!}$$ ?

• Prueba :

Este número tiene $23\ 804\ 069$ dígitos, por lo que si fuera primo sería un número primo récord. Sin embargo, no creo que este número sea primo. Según mis cálculos, no tiene ningún factor primo por debajo de $10^{10}$. Para establecer su composición, busco el menor factor primo.

• Motivación

La función de crecimiento rápido $$f(n):=\sum_{j=1}^n j!^{j!}$$ no puede ser un número primo para ningún entero positivo $n$ excepto para $n=2$ (que da un número primo muy pequeño) y $n=10$ (que podría dar un número primo). La razón es que $13\mid f(n)$ se cumple para cada entero $n\ge 12$ y para los demás casos, los factores primos se pueden encontrar fácilmente. Esto hace que este caso sea interesante ya que completa la búsqueda de primos.

Answer 1

$2198910029959$ es un factor primo (aproximadamente $2 \times 10^{12}$). Estoy aproximadamente $90\%$ seguro de que es el más pequeño: el otro $10\%$ es si hay un error en mi código o si accidentalmente olvidé verificar algunos de los primos más pequeños.

Puedes encontrar mi código aquí. Estoy seguro de que podría haber sido escrito para ser más rápido/mejor o hay un mejor lenguaje para hacerlo :). Observé que los enteros son aproximadamente del tamaño adecuado para poder usar aritmética de $64$ y ocasionalmente de $128$ bits y simplemente pensé que sería divertido escribir un programa en C para buscar factores. Verifica aproximadamente $1.5 \times 10^{6}$ primos por segundo en mi computadora portátil, y busqué varios rangos en paralelo durante la noche.

Verifiqué varios de sus cálculos contra un programa en Python escrito de manera más ingenua, así como el factor primo final que produce, y todo coincidió.