¿Puede una sucesión geométrica tener una razón de 1?

Question

¿Puede una sucesión geométrica tener una razón común de $1$? (por ejemplo: $2,2,2,2,2,...$)

Sigue la regla $b^2 = ac$. Así que creo que también es una progresión geométrica.

Pero la fórmula de la suma es $\frac{a(r^{n}-1)}{(r-1)}$ y cuando $r=1$ , el denominador se vuelve cero. Por lo tanto, tengo esta duda.

Sé que la fórmula es cuando $r>1$ o $r<1$, pero ¿por qué no está definida para $r=1$? ¿Es porque cuando $r=1$, no es una PG?

Por favor ayuda. Gracias

Answer 1

Una sucesión geométrica \(u_n\) es una sucesión que se define de forma recursiva por (dado \(u_1\))

$$u_{n+1}=ru_n,\quad r\in \Bbb R $$ donde la razón \(r\) es un número dado. La fórmula de la suma es $$\sum_{k=1}^nu_k=u_1\frac{1-r^n}{1-r},\;\text{si}\, r\ne1$$ y $$\sum_{k=1}^nu_k=nu_1,\;\text{si}\, r=1$$