¿Por qué hay demasiados autovectores?

Question

El siguiente ejemplo me desconcierta.

Se me dio la siguiente matriz:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \\ \end {matrix}$$

Usé un calculador de eigenvectores disponible en la red. Fui suficientemente ingenuo como para ingresar mi matriz sin pensar primero. El calculador me dio los siguientes eigenvalores: $1$, $1$, $0$. Verifiqué la ecuación característica. Estaba bien. Los eigenvectores dados por el calculador fueron los siguientes vectores columna: $$\begin{matrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & \ \ 1 \ \ \\ \ 1 \ & 0 & 1 \\ \end {matrix}$$

Verifiqué estos eigenvectores; funcionaron bien con los eigenvalores correspondientes.

Luego encontré muchos otros vectores que se parecían a eigenvectores y que funcionaron con el primer y segundo eigenvalores. Aquí tienes un ejemplo: $$\begin{matrix} 0 \\ 0.4 \\ 0.6 \\ \end {matrix}$$

Recién entonces me di cuenta de que todos los vectores cuyo primer componente es $0$ son vectores que se parecen a eigenvectores de la matriz en cuestión, simplemente debido a la disposición de los ceros y los dos unos en la matriz. Así que el caso específico estaba bien explicado.

¿Existe alguna explicación general sobre los eigenvalores "no solicitados"? ¿Cuál podría ser la razón por la que el calculador calculó exactamente los vectores mencionados anteriormente?

Answer 1

El enfoque ingenuo sería mirar cómo funciona la calculadora: podría construir un sistema lineal: para el eigenvalor $1$ simplemente escribiría $$x_1=0.$$

Luego, para encontrar los eigenvectores, la calculadora supondría que $x_2=1$, y tomaría $x_1=0$, pondría $x_3=0$ y concluiría que el sistema de ecuaciones se satisface con un vector no nulo.

Después de eso, la calculadora haría una hipótesis opuesta: $x_2=0$, lo que resultaría, necesariamente, en $x_3\ne 0$, por lo tanto, el sistema se satisface con el vector $(0,0,1)$, lo que daría otro eigenvector.

Finalmente, la calculadora encuentra el rango del sistema, compara con el número de vectores encontrados y muestra el resultado.