Demostrar que cada subgrupo de Sylow p de $S_n$ es abeliano si y solo si $n<p^2$

Question

Me dieron el siguiente problema:

Sea $p$ un número primo, y $P$ un subgrupo de Sylow $p$ de $S_n$. Demuestra que $P$ es abeliano si y solo si $n

y también me dieron la siguiente pista:

encuentra un subgrupo de $S_{n^2}$ de orden $p^p$, y muestra que ningún otro elemento de $S_{p^2}$ conmuta con todos sus elementos

No entiendo cómo abordar este problema, ni cómo la existencia de dicho subgrupo como se menciona en la pista ayuda.

Answer 1

$\newcommand{\Span}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}$$\newcommand{\Size}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$Te daré una pista ligeramente diferente.

Si $n < p^{2}$, entonces $\Size{P} = p^{k}$, donde $$k = \left\lfloor \dfrac{n}{p} \right\rfloor \le \dfrac{n}{p} < p.$$ Considera el subgrupo $$Q_{k} = \Span{ (12\dots p), (p+1, p+2, \dots 2 p), \dots, ((k-1)p + 1, (k-1) p + 2, \dots, kp)}.$$

Si $n \ge p^{2}$, considera el subgrupo $Q_{p}$, y luego otro elemento adecuado.

Answer 2

Para probar que $n\geq p^2$ entonces el subgrupo de Sylow $p$ no es abeliano, basta con encontrar un subgrupo de $p$ no abeliano de $s_{p^2}$. (esto se debe a que los subgrupos de Sylow $p$ son los subgrupos de $p$ maximales, por lo que si existe un subgrupo de $p$ no abeliano, debe estar contenido en un subgrupo de Sylow $p$).

Un ejemplo de dicho subgrupo es el subgrupo de permutaciones que permutan los elementos dentro de los subconjuntos $\{1,2,\dots,p\},\{p+1,p+2,\dots,p+2\},\dots,((p-1)p+1,\dots,p^2\}$ cíclicamente y también permutan los subconjuntos entre sí cíclicamente.

Para ver por qué no es abeliano, nota que hacer una rotación externa y luego una rotación interna no es lo mismo que hacer ambas cosas en orden diferente.

Para ver por qué es verdad cuando $n