Ecuaciones diferenciales exactas $(axy^2+by)dx+(bx^2y+ax)dy=0$.

Question

$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$ se dice que es un diferencial perfecto cuando

$$\frac{\partial (M(x,y))}{\partial y}=\frac{\partial (N(x,y))}{\partial x}$$

Sea $M_y=\frac{\partial (M(x,y))}{\partial y}$ y $N_x=\frac{\partial (N(x,y))}{\partial x}$.

En caso de que:

$\frac{M_y-N_x}{N(x,y)}$ sea solo una función de x (digamos $f(x)$) entonces tiene un factor integrante $e^{\int f(x)dx}$.

Pero si $\frac{M_y-N_x}{N(x,y)}$ es una constante entonces ¿cuál será el factor integrante?

Digamos para este problema: $(axy^2+by)dx+(bx^2y+ax)dy=0$

¿Hay algún otro método para resolver esta ecuación diferencial?

Answer 1

Observación:

Si $Mx-Ny\not=0$ y la ecuación puede escribirse como $f(xy)y\,dx+F(xy)x\,dy=0$, entonces $\frac{1}{Mx-Ny}$ es un factor integrante de la ecuación.

Aquí la ecuación es $(axy+b)y\,dx+(bxy+a)x\,dy=0$. Entonces, $F.I.=\frac{1}{(a-b)(x^2y^2-xy)}.$

¿Puedes seguir adelante?

Answer 2

Si $a\neq0$ y $b\neq0$ entonces el factor de integración de la ecuación $$(axy^2+by)dx+(bx^2y+ax)dy=0$$ es $$\\\frac{1}{{{x}^{\frac{2 b+a}{b+a}}} {{y}^{\frac{b+2 a}{b+a}}}}$$ y la solución es $$\\\frac{x^2y^2-xy}{{{x}^{\frac{2 b+a}{b+a}}} {{y}^{\frac{b+2 a}{b+a}}}}=C$$