Prueba t del coeficiente individual y prueba de Wald de igualdad de dos coeficientes

Question

He ejecutado una regresión $Y = a + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \epsilon$, y tengo interés en probar qué coeficiente de $X_1$ y $X_2$ tiene un impacto más fuerte en $Y.

Aquí están las estimaciones de los parámetros: $\hat{\beta_1} = 0.086$, $se(\hat{\beta_1}) = 0.019$, $\hat{\beta_2} = 0.068$, $se(\hat{\beta_2}) = 0.051$. $cov(\hat{\beta_1}, \hat{\beta_2}) < -0.001$.

Obviamente, por la prueba t, $\hat{\beta_1}$ es significativo (p. < 0.001) mientras que $\hat{\beta_2}$ es insignificante (p. > 0.1). Sin embargo, la prueba de Wald de igualdad de dos coeficientes no rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, no podemos concluir que $X_1$ tiene un impacto más fuerte que $X_2$ en $Y.

La pregunta es, ¿cómo debemos entender la diferencia en significancia (por la prueba t) entre $\hat{\beta_1}$ y $\hat{\beta_2$, cuando la prueba de Wald no rechaza que $\hat{\beta_1}$ y $\hat{\beta_2}$ son iguales?

Answer 1

En ambos casos estás probando cosas completamente diferentes. En otras palabras, desde un punto de vista teórico, la hipótesis de interés es diferente.

Cuando realizas la prueba t, tu hipótesis de interés es $$ H_0: \beta_i = 0\: \text{ vs }\: H_1: \beta_i\ne0\:\:i\in\{1,2\} $$ mientras que en la prueba de Wald estás probando $$ H_0: \beta_1=\beta_2\: \text{ vs }\: H_1: \beta_1\ne\beta_2 $$ Sin embargo, según la forma en que formulaste tu pregunta, me parece que tu hipótesis nula es algo así: $$ H_0: \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\beta_1\\\beta_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} $$ y por lo tanto la Prueba de Wald que necesitas realizar para dicha hipótesis nula.

Una última observación sobre tu ejemplo en particular, a veces tu inferencia puede ser incorrecta porque no tomaste en cuenta ciertas características de tus datos al 1) estimar los parámetros de interés, o 2) al usar los valores críticos correctos. Por ejemplo, la aproximación normal (o $\chi^2$) no es muy buena si tienes muy pocas observaciones, ya que es una aproximación asintótica.

Espero que esto te ayude.