Teorema de Poincaré sobre la presentación de un poliedro fundamental

Question

El Teorema de Poincaré sobre grupos de Klein (grupos que actúan de manera discontinua en espacios euclídeos o hiperbólicos o en esferas) proporciona un método para obtener una presentación de un grupo de Klein a partir de una poliedra fundamental.

Conozco la demostración en el libro de Maskit (grupos de Klein) pero me gustaría conocer otras demostraciones. También conozco otras demostraciones para grupos Fuchsianos (dimensión 2) que no se generalizan a dimensiones superiores (por ejemplo, el libro de Beardon, La geometría de grupos discretos).

Tengo dos motivaciones: 1) La demostración de Maskit también demuestra el Teorema de Poliedros de Poincaré, que establece las condiciones necesarias y suficientes para que un poliedro sea una poliedra fundamental de algún grupo de Klein. Tengo la sensación de que una demostración directa del "teorema de presentación" debería ser posible y más simple que probar el "Teorema de los Poliedros".

2) ¿Se generaliza el Teorema de Poincaré al producto directo de espacios hiperbólicos?

Answer 1

Normalmente por el Teorema Fundamental de Poliedros de Poincaré se entiende una colección de condiciones (preferiblemente combinatorias y verificables) que aseguran que un poliedro en un espacio hiperbólico es el dominio fundamental de un grupo discreto. Aquí están las fuentes:

1. En el caso hiperbólico real, además de la prueba en el libro de Maskit, está el excelente artículo [Epstein, David B. A.; Petronio, Carlo An exposition of Poincaré's polyhedron theorem. Enseign. Math. (2) 40 (1994), no. 1-2, 113--170].

2. También existen versiones hiperbólicas complejas como en [Falbel, Elisha; Zocca, Valentino A Poincaré's polyhedron theorem for complex hyperbolic geometry. J. Reine Angew. Math. 516 (1999), 133--158]

3. Una versión muy general se puede encontrar en un reciente preprint de Sasha Anan'in y Carlos H. Grossi aquí.

4. Si la memoria no me falla, este tema también se discutió extensamente en [Ratcliffe, John G. Foundations of hyperbolic manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 149. Springer, New York, 2006].

5. No tengo conocimiento de ninguna versión específica para el producto de espacios hiperbólicos, pero revisa 3 y 4. No he estado pensando en estos asuntos desde mediados de los años 90, así que podría haberme perdido algo.

Answer 2

Si solo quieres una presentación teórica, creo que este resultado general puede ser adecuado:

A. M. Macbeath, Grupos de homeomorfismos de un espacio simplemente conectado, Ann. of Math. (2) 79 (1964), 473–488.