Dado que $A$ es una proyección, $A$ es Hermitiana si y solo si $AA^\ast A=A$

Question

En esta pregunta, $A^\ast$ es la traspuesta conjugada de $A$. Se me pide demostrar que si $A$ es una matriz de proyección, entonces $A$ es Hermitiana si y solo si $A=AA^\ast A$. Una dirección es fácil: si $A$ es Hermitiana, el resultado es trivial. ¿Y la otra dirección? La suposición de que $A=AA^\ast A$ y que $A$ es una proyección nos da algunas identidades: $$A^2=A,$$ $$A^\ast=A^\ast AA^\ast,$$ $$A=A(A^\ast)^2A,$$ etc.... Pero estoy perdido. ¿Cómo puedo usar estas para demostrar la otra dirección: Si $A=AA^\ast A$ y $A$ es una proyección, entonces $A$ es Hermitiana?

Answer 1

Usando $A=AA^*A$, podemos decir que la restricción de $AA^*$ a la imagen de $A$ es el mapa de identidad. Por otro lado, el núcleo de $AA^*$ es el núcleo de $A^*$, que es el complemento ortogonal de la imagen de $A$. Concluimos que $AA^*$ es la proyección ortogonal sobre la imagen de $A.

Ahora, podemos notar que tanto $AA^*$ como $A$ son proyecciones sobre un subespacio de dimensión $r$ (donde $r = rk(A)$). Se sigue que $tr(A) = tr(AA^*) = r$. Sin embargo, dado que $A$ satisface $tr(AA^*) = tr(A)$, $A$ debe ser normal (esto se deduce de la descomposición de Schur). Dado que $A$ es normal con eigenvalores reales, debe ser Hermitiano (esto se deduce del teorema espectral).

Por lo tanto, $A$ es Hermitiano.

Answer 2

Considera el producto interno $\langle C,D\rangle=tr(CD^*)$.

Ahora $AA^*=AA^*AA^*$ y $A^*A=A^*AA^*A$. Por lo tanto, $A$, $A^*$, $AA^*$ y $A^*A$ son proyecciones. Entonces, sus trazas son iguales a sus rangos, que también son iguales.

Finalmente, $\langle A-A^*,A-A^*\rangle=\langle A,A\rangle-\langle A,A^*\rangle-\langle A^* ,A\rangle+\langle A^*,A^*\rangle=$

$=tr(AA^*)-tr(AA)-tr(A^*A^*)+tr(A^*A)=0$. Así que $A=A^*$.