Principios de conteo - ¿por qué este enfoque produce una respuesta incorrecta?

Question

Para la siguiente pregunta:

Las cadenas de códigos de barras de un producto nuevo se crean a partir de cuatro letras A, B, C, D y diez dígitos 0, 1, 2, ..., 9. Ninguna tres letras pueden estar escritas consecutivamente en una cadena de código de barras. No hay restricción en el orden en el que se escriben los números. Encuentra el número de cadenas de códigos de barras que se pueden crear.

La respuesta correcta es $7.66 \cdot 10^{10}$, que puedo lograr restando el número de códigos de barras con tres o cuatro letras consecutivas del número total de códigos de barras.

Sin embargo, encontré otro enfoque que produce una respuesta ligeramente diferente (que sospecho que está mal, pero no puedo explicar por qué):

Al calcular:

$10! \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8$ (número de códigos de barras con cuatro letras separadas),

$+ 10! \cdot \binom{4}{2} \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9$ (número de códigos de barras con dos letras agrupadas y las otras dos separadas)

$+ 10! \cdot \binom{4}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10$ (número de códigos de barras con dos pares de letras)

Obtengo $8.14 \cdot 10^{10}$ lo que sugiere que he contado algunas posibilidades varias veces. ¿Dónde cometí un error?

Answer 1

La respuesta debería ser -

$10! \cdot {11 \choose 4} \cdot4! + 10! \cdot 2 \cdot {4 \choose 2} \cdot {11 \choose 3} \cdot 3!+ 10! \cdot {4 \choose 2} \cdot {11 \choose 2} \cdot 2! \cdot 2!$

Primer término - las cuatro letras están separadas.

Segundo término - tres grupos de letras separados entre sí (un grupo tiene dos letras juntas)

Tercer término - dos grupos de letras separados entre sí (cada grupo tiene dos letras juntas)

Es en el último término donde hay un error. Primero hacemos dos grupos ordenados de letras por ${4 \choose 2}$. Luego elegimos $2$ lugares para dos grupos de entre $11$ lugares. Luego permutamos ambos pares dentro ($2! \cdot 2!$). Al igual que en los otros términos, permutamos los dígitos por $10! \ $.