Determina si la siguiente secuencia corta exacta está dividida.

Question

¿Se dividen las siguientes secuencias cortas exactas?

$$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow \mathbb{Z}^2 \longrightarrow 0$$

$$0\longrightarrow\mathbb{Z}\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow 0$$

Esta es una pregunta en un examen de Topología de doctorado. Sé lo que significa ser una secuencia corta exacta dividida. Para que la secuencia corta exacta $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C \longrightarrow 0$ se divida, necesitas una de las siguientes cosas:

1. existe un mapa $B\longrightarrow A$ tal que $A\longrightarrow B\longrightarrow A$ es la identidad en $A$.

2. existe un mapa $C\longrightarrow B$ tal que $C\longrightarrow B\longrightarrow C$ es la identidad en $C.

3. $B$ es isomorfo a la suma directa de $A$ y $C.

He intentado encontrar ejemplos y noejemplos en línea de secuencias cortas exactas divididas y he intentado descifrar cómo responder a la pregunta anterior, pero estoy teniendo dificultades. He intentado usar el hecho de que estas secuencias son exactas, por lo que tenemos el hecho de que $Im(f_i)=Ker(f_{i+1})$. Si alguien pudiera darme una explicación a esta pregunta, se lo agradecería mucho.

Gracias.

Answer 1

Supongo que las secuencias son de grupos abelianos. El primero se divide ya que el término derecho es un grupo abeliano libre. El segundo no necesariamente se divide, ya que se puede tomar $A=\mathbb Q$ y $B$ el cociente. Dado que el término del medio no tiene torsión, la secuencia no puede dividirse.

Answer 2

Para la primera secuencia exacta corta, nota que $\mathbb{Z}^2$ es un módulo libre sobre $\mathbb{Z}$, por lo tanto es proyectivo y la secuencia exacta corta se parte. De hecho, una propiedad característica de los módulos proyectivos es la siguiente.

$M$ es un módulo $R$-proyectivo si y solo si cualquier secuencia exacta corta $$0\longrightarrow K\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow 0$$de módulos $R$ se parte.

La proposición anterior ya implica que la segunda secuencia exacta corta no necesariamente se parte. Un ejemplo explícito puede ser el siguiente

$$0\longrightarrow \mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\longrightarrow 0,$$ donde el primer mapa es la multiplicación por $2$ mientras que el segundo es la proyección natural (o el mapa módulo $2$). Nota que esta secuencia exacta corta no se parte ya que $\mathbb{Z}$ es libre de torsión.

Espero que lo anterior sea útil.

Answer 3

Supongo que los grupos involucrados aquí son conmutativos. La primera secuencia se divide porque $Z^2$ es un grupo abeliano libre. si $f:B\rightarrow Z^2$, $f(u)=e_1, f(v)=e_2$, donde $e_1, e_2$ son generadores de $Z^2$, escriba $g(e_1)=u, g(e_2)=v$.