No-covarianza del propagador de rango superior (del libro de texto de QFT de Weinberg)

Question

En el capítulo 6.2 de la obra de Weinberg QFT Vol.1 dio la forma general de las contracciones de Wick de todos los campos posibles (escalar, espinor, vectorial, etc.), demostró que

$$\Delta_{lm}(x,y)=\theta(x-y)P^{(L)}_{lm}\left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right)\Delta_+(x-y) +\theta(y-x)P^{(L)}_{lm}\left(-i\frac{\partial}{\partial x}\right)\Delta_+(y-x)\tag{6.2.8}$$

donde $$\Delta_+(x)=\int d^3p(2p^0)^{-1}e^{ip\cdot x},$$ et $P^{(L)}_{lm}$ es un polinomio covariante si su argumento es un 4-momento on-shell (es decir. $P^{(L)}_{lm}(\sqrt{\mathbf{p^2}+m^2},\mathbf{p})$ ), pero puede no ser covariante para el 4-momento fuera de la envoltura.

Entonces, por una serie de identidades matemáticas, fue capaz de demostrar $\Delta_{mn}(x,y)$ puede escribirse en una integral de 4 momentos:

$$\Delta_{lm}(x,y)=\int d^4q\frac{P^{(L)}_{lm}(q)\exp(iq\cdot (x-y))}{q^2+m^2-i\epsilon}\tag{6.2.18}$$

A partir de aquí argumentó ya que el 4-momentum $q$ en $(6.2.18)$ no siempre es on-shell, $P^{(L)}_{lm}$ puede no ser covariante, y a su vez el $\Delta_{mn}(x,y)$ puede no ser covariante. Efectivamente no lo es para un campo vectorial como lo que mostró inmediatamente después, y por eso necesitamos añadir un término no covariante en el Hamiltoniano para hacer el propagador covariante ect.etc.

Seguí los pasos que me indicó, pero me ocurrió algo extraño cuando volví a mirar la expresión $(6.2.8)$ : $(6.2.8)$ parece completamente covariante, ya que $\theta$ es invariable, $\Delta_+$ es invariante y se escribe en integral de 3 momentos de forma que $P^{(L)}_{lm}(-i\frac{\partial}{\partial x})\Delta_+(x-y)$ debe ser covariante, sin embargo $(6.2.18)$ -que se supone que equivale a $(6.2.8)$ - no es covariante. Me pregunto si hay alguna sutileza que me perdí.

También hay otro misterio para mí: en el capítulo 3.5 (página 144), dio una prueba perturbativa de la invariancia de Lorentz basada en las series de Dyson, la invariancia de la densidad hamiltoniana y la condición de microcausalidad, y mencionó que la invariancia de Lorentz podría verse perturbada por los razonamientos dados en el capítulo 6.2, pero la prueba en el capítulo 3.5 es completamente formal y no puedo ver exactamente cómo los razonamientos en 6.2 pueden ponerla en peligro.

(PD: Ojalá hubiera podido formular mi pregunta de forma más autocontenida, pero no he podido a menos que copiara algunas páginas enteras de Weinberg, así que pido disculpas por la posible vaguedad de antemano).

Answer 1

No sé si el autor de la pregunta sigue interesado en ella. De todos modos aquí están mis dos centavos.

Sin introducir $P^{(L)}_{\ell m}$ Consideremos el caso de espín masivo uno y utilicemos E.(6.2.6) en la Ec.(6.2.8).

La Ec.(6.2.6) puede escribirse como $P_{\mu\nu} = \sum_{n=0}^2 P_{\mu\nu}^{(n)}$ donde $P_{\mu\nu}^{(i)}$ es proporcional a $q_0^n$ .

Siga los pasos de Weinberg y obtendrá una ecuación similar a (6.2.12) con términos proporcionales a $P_{\mu\nu}$ , $\delta(x_0-y_0) P_{\mu\nu}^{(1)}$ et $\delta^\prime (x_0-y_0) P_{\mu\nu}^{(2)}$ .

En $\delta$ desaparece, pero el término $\delta^\prime$ no lo hace y da el último término de la Ec.(6.2.21).

Conclusión: La Ec.(6.2.8) no es covariante porque $\theta(x_0-y_0) \partial_\mu f(x-y)$ no es covariante (el $x_0$ dependencia en f resulta en $\delta^{(n)} términos).