Probabilidad de no encontrar un producto

Question

Un producto existe en $\frac{1}{4}$ de las tiendas de la cadena. Uno decidió buscar el producto en no más de 5 tiendas. Definiendo $X$ como el número de tiendas buscadas, encuentra:

a. Distribución de $X$

b. Valor esperado y varianza

c. dado que buscó en dos tiendas y no encontró el producto, ¿cuál es la probabilidad de que no lo encuentre en absoluto?

Acerca de A: Si buscó en $k=1,...,5$ tiendas, no encontró el producto en k-1 tiendas y lo encontró en la última tienda, entonces la probabilidad es $\frac{1}{4}(\frac 3 4)^{k-1}$, por lo tanto, la distribución es

pero dado que la suma de las probabilidades es 1, se deduce que $P(X=0)=0.501$. ¿Por qué este resultado es intuitivamente correcto?

Acerca de B: Solo mirando la tabla, encontré que $E[X]=0.8271,Var(X)=0.9984$.

Acerca de C: si definimos $B-número de tiendas en las que buscó y no lo encontró$ estamos buscando $P(B=5\mid X=2)=\frac{P(B=5,X=2)}{P(X=2)}=\frac{P(B=5)}{P(X=2)}=\frac{(\frac 3 4) ^5}{\frac 3 {16}}=1.2656$ lo cual es evidentemente incorrecto.

¿Cómo puedo explicar/encontrar $P(X=0)$ y por qué C no es correcto?

Answer 1

Si entramos en una tienda, dejemos que $S$ represente el éxito, la tienda la tuvo, y dejemos que $F$ represente el fracaso. Tenga en cuenta que la probabilidad de éxito es $\frac{1}{4}$ y la probabilidad de fracaso es $\frac{3}{4}$

Como la tuvo, $\Pr(X=1)=\Pr(S)=\frac{1}{4}$.

$\Pr(X=2)=\Pr(FS)=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{16}$.

$\Pr(X=3)=\Pr(FFS)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{64}$.

$\Pr(X=4)=\Pr(FFFS)=\frac{27}{256}$.

Para $\Pr(X=5)$ las cosas son un poco diferentes, debido a la condición de "renunciar". Hay dos formas de encontrar $\Pr(X=5)$. Podríamos sumar las probabilidades obtenidas previamente y restar la suma de $1$. O bien podemos notar que $X=5$ si tenemos cuatro fracasos seguidos. Así que $\Pr(X=5)=\frac{81}{256}$.

Calcular la media y la varianza es algo tedioso. Supondré que, ahora que tienes la distribución, puedes llevarlos a cabo.

Volvamos al problema de probabilidad condicional. Primero lo hacemos mecánicamente.

Dejemos que $A$ sea el evento "mirar sin éxito en dos tiendas" y $B$ el evento "no encontrará". Queremos $\Pr(B|A)$, que por definición es $$\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(A)}.$$ La parte superior es simplemente la probabilidad de $FFFFF$. Esto es $(3/4)^5$. La parte inferior es la probabilidad de $FF$. Esto es $(3/4)^2$. Dividimos. Obtenemos $(3/4)^3$.

Observación: La respuesta al problema de probabilidad condicional es clara sin todos los símbolos. Dado que fallamos dos veces, la probabilidad de que fracasemos completamente es $(3/4)^3$, ya que ahora solo iremos a tres tiendas.