Sé que hay una solución única para la ecuación de Laplace que tiene un valor límite particular. Pero no entiendo por qué es así. ¡Gracias por tu ayuda de antemano!
PD: esto es un seguimiento a esta pregunta.
Respuestas
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Supongamos que queremos resolver la ecuación de Laplace $\nabla^2 T = 0$ en una región $R$, con $T = f$ en la frontera $\partial R$ (donde $f$ es alguna función). Para demostrar que la solución es única, asumiré que hay dos soluciones, digamos $T_1$ y $T_2$. Sea $W = T_1 - T_2$. Entonces tenemos $\nabla^2 W = \nabla^2 T_1 - \nabla^2 T_2 = 0 - 0 = 0$ en $R$, y en $\partial R$, tenemos $W = T_1 - T_2 = f - f = 0$.
Por el teorema de Green, tenemos el siguiente resultado: \begin{equation*}\iint\limits_{R}\nabla\cdot(W \nabla W) \mathop{}\!\mathrm{d}A = \int\limits_{\partial R}(W \nabla W)\cdot\boldsymbol{n} \mathop{}\!\mathrm{d}s\end{equation*} donde utilizo $\nabla \cdot$ para denotar el operador de divergencia, y $\boldsymbol{n}$ es el vector normal unitario que apunta hacia afuera en $\partial R$. Pero, mediante una identidad bien conocida, se cumple que $\nabla\cdot(W\nabla W) = W\nabla^2 W + \nabla W \cdot \nabla W$. Sustituyendo $\nabla^2 W = 0$, obtenemos $\nabla\cdot(W\nabla W) = \nabla W \cdot \nabla W = \left\lVert \nabla W \right\rVert^2$. Además, dado que $W = 0$ en $\partial R$, por supuesto tenemos $(W\nabla W) \cdot \boldsymbol{n} = 0$ en $\partial R$, por lo que el lado derecho es $0$.
Así que \begin{equation*}\iint\limits_{R}\left\lVert\nabla W\right\rVert^2 \mathop{}\!\mathrm{d}A = 0\end{equation*} Recordemos que si la integral de una función continua no negativa es $0$, entonces la función misma debe ser $0$ en todas partes en la región de integración. En este caso, $T_1$ y $T_2$ deben ser al menos dos veces diferenciables para satisfacer la ecuación de Laplace, por lo que tenemos continuidad. Esto significa que $\left\lVert\nabla W\right\rVert^2 = 0$, y por lo tanto $\nabla W = \boldsymbol{0}$ en $R$.
Otro resultado bien conocido es que si una función tiene un gradiente de $0$ en un conjunto abierto conexo por camino, entonces es una función constante. De acuerdo, asumiendo que la región $R$ es conexa por camino (lo cual casi siempre será en cualquier ejemplo práctico), $W$ es constante. Dado que $W$ es constante en $R$ y $0$ en la frontera $\partial R$, y $W$ es continua, la constante debe ser $0$. Es decir, $W = 0$ en $R \cup \partial R$, entonces $T_1 = T_2$ en $R \cup \partial R$, demostrando que la solución es única. $\qquad \rule{0.7em}{0.7em}$
numerics dude
Puntos
81
¿Estás al tanto del principio del máximo? Básicamente establece que una solución de la ecuación de Laplace toma sus valores máximos y mínimos en el borde.
Así, supongamos que tienes dos soluciones $u_1, u_2$ de la ecuación de Laplace en un dominio $\Omega$ que cumplen $u_1(x) = u_2(x)$ en $\partial\Omega$. Entonces su diferencia $d(x):=u_1(x) - u_2(x)$ también resuelve la ecuación de Laplace. Según el principio del máximo, $d$ toma sus valores máximos y mínimos en el borde. Pero tenemos $d(x)=0$ en $\partial\Omega$. Por lo tanto $d\equiv 0$ y así $u_1(x) = u_2(x)$.
