Cohomología del espacio clasificatorio

Question

Me gustaría saber si alguien sabe cómo calcular la cohomología de los siguientes espacios, especialmente en el caso de los espacios clasificadores:

1) $ H^\ast (BSU(2), \mathbb{Z}) $

2) $ H^\ast (BO(3), \mathbb{Z}/2) $

3) $ H^\ast (O(3), \mathbb{Z}/2) $

Gracias

Answer 1

1. Se observa que $BSU(2) = BSp(1) = \mathbb{HP}^{\infty}$, por lo tanto $H^*(BSU(2); \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[\alpha]$ donde $\deg\alpha = 4$.

2. En general, $H^*(BO(n); \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_2[w_1, \dots, w_n]$ donde $\deg w_i = i$.

3. Se observa que $O(3) \cong SO(3)\times\mathbb{Z}_2$ y $SO(3)$ es difeomorfo a $\mathbb{RP}^3$, por lo tanto $O(3)$ es difeomorfo a $\mathbb{RP}^3\sqcup\mathbb{RP}^3$. Por lo tanto $H^*(O(3); \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_2[\alpha, \beta]/(\alpha\beta, \alpha^4, \beta^4)$ donde $\deg\alpha = \deg\beta = 1$.