Una pregunta sobre la aritmética cardinal

Question

Deja [J]: Jech "Teoría de conjuntos" (edición del Milenio)

Deja $\kappa$ un ordinal límite.

De [J], T.3.11, p. 33 tenemos que $\kappa<\kappa^{cf(\kappa)}$.

Mejoré esa demostración y obtuve:

$\kappa < cf(\kappa)^{cf(\kappa)}$

PRUEBA: Deja $\gamma:=cf(\kappa)$ y $c: \gamma\to \kappa$ cofinal, ordenado, inyectivo. Dada una familia $F=${$f_k|k<\kappa$} de funciones $f_k: cf(\kappa)\to cf(\kappa)$ define $f: cf(\kappa)\to cf(\kappa)$ de la siguiente manera:

$f(\delta)$ es el mínimo $\beta$ tal que $\beta\neq f_k(\delta)\ \forall k < c(\delta)$.

Tenemos que $f(\delta\dot{+}1)\neq f_{c(\delta)}(\delta\dot{+}1)$ (donde $\dot{+}$ es la suma ordinal, o sucesor).

Entonces $f\not\in F". (fin de la Prueba)

De [J], Cor.5.12 tenemos que $cf(2^{\aleph_\alpha})>\aleph_\alpha$ para cualquier ordinal $\alpha$.

A partir de la identidad cardinal $\lambda^\lambda=2^\lambda$ ([J], L.5.6) y de lo anterior se sigue que $2^{cf(\aleph_\alpha)}>\aleph_\alpha$

Mi pregunta es:

¿Cómo están relacionados $2^{cf(\aleph_\alpha)}$ y $cf(2^{\aleph_\alpha})$?

Answer 1

Su versión mejorada del teorema de Konig no es correcta. Por ejemplo, la cofinalidad de $\aleph_\omega$ es $\omega$, pero bajo el AC, $\omega^\omega$ es mucho menor que $\aleph_\omega$. Por lo tanto, no es generalmente cierto que $\kappa\lt\text{cof}(\kappa)^{\text{cof}(\kappa)}.

No se necesita el AC para proporcionar un contraejemplo, dado que hay cardinales arbitrariamente grandes con cofinalidad $\omega$, y no todos pueden ser menores que $\omega^\omega.

El error en su demostración es que define $f(\delta)$ para ser diferente de $c(\delta)$ en muchos valores, pero si $c(\delta)$ es mayor que $\text{cof}(\kappa)$, entonces pueden no quedar valores.

Con respecto a su última pregunta, la cofinalidad de $\aleph_\alpha$ es $\aleph_\alpha$, cuando se trata de un cardinal sucesor, y es $\text{cof}(\alpha)$ cuando es un cardinal límite. Entonces $2^{\text{cof}(\aleph_\alpha)}$ es de manera similar $2^{\aleph_\alpha}$ o $2^{\text{cof}(\alpha)} dependiendo de si se está en el caso sucesor o límite. Mientras tanto, la cofinalidad de $2^{\aleph_\alpha}$ es siempre al menos $\aleph_{\alpha+1}$ por el teorema de Konig. Pero puede ser menor que $2^{\aleph_\alpha}$ si el AC falla gravemente. Por lo tanto, es posible que $2^{\text{cof}(\aleph_\alpha)}$ sea mayor que $\text{cof}(2^{\aleph_\alpha}). Mientras tanto, también es posible que sean iguales, por ejemplo para cardinales sucesores bajo el AC, y también es posible que sea menor, como en el caso de un cardinal límite singular $\aleph_\alpha$ bajo el AC.