Una respuesta bastante completa se puede encontrar en las siguientes referencias (principalmente la primera):
- "Gödel and Set Theory", Kanamori, Bull. Symbolic Logic, June 2007
- "Infinity in Mathematics: Is Cantor Necessary?", Feferman, Philosophical Topics, Fall 1989
- "Kurt Gödel", Kreisel, Biographical Memoirs of the Fellows of the Royal Society
Resumiré los puntos principales.
Gödel se refiere a la teoría de tipos de Russell, según se expone en Principia Mathematica (y observa la mención de P.M. en el título del artículo de Gödel). Esto divide el universo matemático en niveles: números (tipo 0), conjuntos de números (tipo 1), conjuntos de conjuntos de números (tipo 2), etc.
En 1932, Gödel amplió la nota al pie 48a en un pasaje citado por Kanamori:
Si imaginamos que el sistema $\mathcal{Z}$ se amplía sucesivamente mediante la introducción de variables para clases de números, clases de clases de números, y así sucesivamente, junto con los correspondientes axiomas de comprensión, obtenemos una secuencia (continuable en lo transfinito) de sistemas formales que satisfacen las suposiciones mencionadas anteriormente, y resulta que la consistencia ($\omega$-consistencia) de cualquiera de esos sistemas es demostrable en todos los sistemas subsiguientes.
Aquí $\mathcal{Z}$ es básicamente la Aritmética de Peano en su formulación moderna. Agregar todos estos tipos, como se contempla en el pasaje de 1932, esencialmente nos daría el sistema de Russell, excepto que Russell no continúa los tipos en lo transfinito.
La comparación moderna más cercana a la jerarquía de tipos de Russell es la jerarquía acumulativa de ZFC. Pero hay dos diferencias cruciales. En primer lugar, Russell no permite tipos "mixtos": no se pueden poner números y conjuntos de números en la misma clase. Además, los tipos de Russell solo llegan hasta los niveles finitos.
Bueno, ¿qué tiene que ver esto con la incompletitud? La ilustración moderna más simple: Con(PA) puede ser probada en aritmética de segundo orden. Como Gödel señaló en el artículo de 1931, su proposición indecidible sigue de Con(PA)—de ahí el segundo teorema de incompletitud, que PA no prueba Con(PA). La aritmética de segundo orden no puede probar su propia consistencia, pero puedes demostrarla consistente dentro de la aritmética de tercer orden. Y así sucesivamente.
Estas demostraciones de consistencia dependen de la capacidad de formalizar la "verdad" para un sistema en un sistema del próximo tipo más alto. Kanamori resume el significado de la nota al pie 48a y el pasaje de 1932 de la siguiente manera:
Los puntos destacados de estos pasajes es que la adición del siguiente "tipo más alto" a un sistema formal lleva a proposiciones recién demostrables del sistema; los tipos iterativos pueden continuarse en lo transfinito; y en teoría de conjuntos, nuevas proposiciones se vuelven análogamente demostrables a partir de "axiomas de cardinalidad".
Hay mucho más en las referencias, incluyendo conexiones con el trabajo de Gödel sobre la jerarquía constructible. Solo mencionaré que en el artículo de Gödel "¿Cuál es el Problema del Continuo de Cantor?", expresó la esperanza de que los axiomas de números cardinales grandes pudieran decidir CH. Tales axiomas son una evolución natural de la jerarquía de tipos en lo transfinito.
