Algoritmo para encontrar la sección planar más grande de un sólido poliédrico convexo

Question

Agregamos un poco más sobre sombras y secciones planas siguiendo Sobre un par de sólidos con secciones planares máximas correspondientes y sombras que tienen área igual. Solo consideramos poliedros.

1. Dado un sólido poliédrico convexo, ¿cómo se encuentra su sección planar más grande? 'más grande' puede significar área máxima o perímetro máximo. Entonces, esto es 2 preguntas en 1.

Si se pudiera demostrar que una o ambas secciones planares más grandes necesariamente pasan por 2 vértices (por ejemplo), eso podría ser útil.

2. Encontrar un algoritmo que encuentre la sombra más grande de un sólido poliédrico convexo dado (nuevamente en versiones área y perímetro).

Nuevamente, si se pudiera demostrar algún 'lema' sobre los vértices del poliedro, eso sería bueno.

Answer 1

Su Pregunta 2 (versión sombra de área/volumen máx/min) se responde en este documento:

McKenna, Michael, y Raimund Seidel. "Encontrar las sombras óptimas de un poliedro convexo." En Actas del 1er Simposio Anual de Geometría Computacional (SoCG), pp. 24-28. 1985.

Los algoritmos (hay dos) tienen una complejidad temporal $O^*(n^{d-1})$ para poliedros de $n$ vértices en dimensión $d$, con $\mbox{}^*$ significando con o sin un factor $\log n$. Así que tiempo cuadrático en $d=3$.

Aquí tienes una captura de pantalla de la Introducción: