Teorema fundamental del cálculo y derivada

Question

¿Puedo afirmar $$\frac{d}{dx}\left(\int_{x_0}^{x} f(t)\cdot g(t) dt\right)=f(x)\cdot g(x)$$ si $f$ y $g$ están bien definidos?

Answer 1

Sí, casi en todas partes (por el Teorema Fundamental del Cálculo de Lebesgue, gracias @peek-a-boo) cuando $f(t) \cdot g(t)$ es integrable, y en general para funciones continuas.

Define $h(t) = f(t) \cdot g(t)$, y deja que $H(t)$ sea una antiderivada para $h(t)$ (aquí es donde entra en juego la suposición de integrabilidad). Entonces el Teorema Fundamental del Cálculo te informa que $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} {\bigg( \int_{x_0}^{x} h(t)\ \mathrm{d} t \bigg)} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} {\big( H(x) - H(x_0) \big)}.$$ Ahora $x_0$ es una constante, por lo que $H(x_0)$ también lo es, lo que significa que desaparece cuando tomamos la derivada, por lo que nuestra expresión simplemente se convierte en $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} H(x)$, que es (por definición de $H$ como una antiderivada de $h$) lo mismo que $h(x)$. Esto es por definición de $h$ lo mismo que $f(x) \cdot g(x)$, como se deseaba.

Afortunadamente en general la integrabilidad es muy fácil de satisfacer, incluyendo por ejemplo todas las funciones continuas. Consulta la otra respuesta para un ejemplo donde esto falla (leve) en $x = 0$ porque se viola la integrabilidad.

Answer 2

El requisito es que $f(x)\cdot g(x)$ sea una función continua sobre $[a,b]$ donde $a < b$ son constantes y $x \in [a,b]$. Un contraejemplo es $f(x) = 1, g(x) = \dfrac{1}{x}$ sobre $[a,b] = [-1,1]$.