¿Podemos relajar la hipótesis del teorema fundamental del cálculo?

Question

Supongamos que $F$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $[a,b]$ y $F'(x)=f(x)$ para $x\in [a,b]$. Supongamos que $f$ es integrable de Riemann. Entonces el teorema fundamental del cálculo dice que

$$F(x)-F(a)=\int_{a}^x f(t) dt$$

Mi pregunta es: ¿Podemos decir que $$F(x)-F(a)=\int_{a}^x f(t) dt$$ sigue siendo cierto si eliminamos la suposición de que $F$ es diferenciable en $a$ y $b$.

Mis pensamientos: La prueba utiliza el teorema del valor medio para demostrar el teorema pero el valor medio solo requiere que $F$ sea continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$.

Answer 1

Hay otras versiones del teorema fundamental del Cálculo que están en línea con lo que escribiste. Algunas requieren extensiones a la integración de Riemann, que van más allá del alcance de una clase de Cálculo de primer año en la universidad. La extensión más común en matemáticas es integración de Lebesgue, también hay una extensión menos común pero igualmente útil, llamada integración por calibre desarrollada de forma independiente por varias personas: Denjoy, Henstock-Kurzweil y otros.

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En la integración de Lebesgue, estos son principalmente dos resultados:

Teorema 1L. Si $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ es absolutamente continua, entonces $F'$ existe casi en todas partes con respecto a $\lambda$, es integrable (en el sentido de Lebesgue) sobre $[a,b]$, y $$ F(x)-F(a)=\int^x_a F'(t)\,dt, \quad a\leq x\leq b. $$

Teorema 2L. Sea $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ continua. Si $F$ es diferenciable en $[a,b]$, con la excepción de un conjunto numerable de puntos, y $F'$ es integrable (en el sentido de Lebesgue, sin importar el conjunto de puntos excepcionales donde $F'$ no está definido) entonces, $$ F(x)-F(a)=\int^x_a F'(t)\,dt,\quad a\leq x\leq b. $$

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Para la integral de Henstock, hay una versión similar al Teorema 2 anterior

Teorema 2H: Supongamos que la función $F$ es continua y diferenciable en todo punto excepto en una colección numerable de puntos en $[a,b]$. Entonces su derivada $F'$ es integrable (en el sentido de Henstock-Kurzweil) en $[a,b]$, y $$ F(x)-F(a)=\int^x_a F'(t)\,dt,\quad a\leq x\leq b. $$

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Los Teoremas 1L, 2L se estudian en cursos de integración de Lebesgue. Una buena fuente a nivel de pregrado es el libro de Análisis Real de Stein y Shakarchi.

Un buen lugar para el estudio de este tipo de integral es el libro de Bartle "Teoría moderna de la integración". Este tipo de integración se puede hacer de manera similar a la integración de Riemann.

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Answer 2

Una versión más fuerte del Teorema Fundamental del Cálculo se encuentra en el siguiente artículo:

Michael W. Botsko y Richard A. Gosser, "Stronger Versions of the Fundamental Theorem of Calculus", The American Mathematical Monthly, Vol. 93, No. 4 (abr., 1986), pp. 294-296.

FTC: Sea $f$ Riemann integrable en $[a, b]$, y sea $g$ una función continua en $[a, b]$ tal que $g'_{+}(x) = f(x)$ para todo $x$ en $(a, b)$ donde $g'_{+}(x)$ es la derivada derecha. Entonces $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = g(b) - g(a)$.

Observación: Por cierto, lo necesité cuando me encontré con el siguiente problema.

Supongamos que $f: [0, 1]\to \mathbb{R}$ es no decreciente y cóncava, con $f(0)=0$ y $f(1)=1$. Probar que $$\frac{\int_0^1 f^2 \mathrm{d} x}{\int_0^1 f \mathrm{d} x} \ge \frac{2}{3}.$$

Answer 3

Apostol da el teorema de la siguiente manera

FTC: Sea $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ Riemann integrable en $[a, b] $ y sea $g:(a, b) \to\mathbb {R} $ tal que $g'(x) =f(x) $ para todo $x\in(a, b) $. Entonces los límites $$\lim_{x\to a^{+} } g(x), \lim_{x\to b^{-}} g(x) $$ existen y tenemos $$\int_{a} ^{b} f(x) \, dx=\lim_{x\to b^-} g(x) - \lim_{x\to a^+} g(x) $$

Por lo tanto, básicamente no necesitas que el $F$ en tu pregunta sea diferenciable (o incluso continuo o definido) en los puntos finales $a, b$.

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A petición del usuario @sani a través de un comentario doy una demostración del teorema mencionado anteriormente.

Sea $$F(x) =\int_{a} ^{x} f(t) \, dt\tag{1}$$ Dado que $f$ es Riemann integrable en $[a, b] $ está acotado en $[a, b] $ y sea $M$ una cota superior para $|f|$ en $[a, b] $. Luego $$|F(x+h) - F(x) |=\left|\int_x^{x+h} f(t) \, dt\right|\leq M|h|$$ si tanto $x, x+h$ están en $[a, b] $. Esto prueba que $F$ es continua en $[a, b] $.

Considera $g$ definida en $(a, b) $ tal que $g'(x) =f(x) $ en $(a, b) $. Sea $c\in(a, b) $. Por el FTC usual tenemos $$g(x) =g(c) +\int_{c} ^{x} f(t) \, dt$$ para todo $x\in(a, b) $ y usando $(1)$ podemos escribir la ecuación anterior como $$g(x) =g(c) +F(x) - F(c) \tag{2}$$ Dado que $F$ es continua en $[a, b] $ podemos ver que los límites de la RHS de $(2)$ cuando $x\to a^+$ y cuando $x\to b^- $ existen y tenemos $$\lim_{x\to a^+} g(x) =g(c) +F(a) - F(c) $$ y $$\lim_{x\to b^-} g(x) =g(c) +F(b) - F(c) $$ Restando estas dos ecuaciones obtenemos $$F(b) - F(a) =\lim_{x\to b^-} g(x) - \lim_{x\to a^+} g(x) $$ Nota que $F(a) =0$ y $F(b) =\int_a^b f(x) \, dx$ mediante la definición $(1)$ y la demostración del teorema mencionado anteriormente está completa.