Antecedentes:
Sea $M$ una variedad Riemanniana suave de dimensión $n$ y curvatura escalar $R$ (con respecto a la conexión de Levi-Civita). Sea $m \in M$ y sea $B$ la bola geodésica de radio $r$ centrada en $m$. Es decir,
$B = \{ Exp_m(v)\ |\ \ v\in T_mM,\ ||v||< r\ \} $
Entonces para $r$ pequeño, el volumen de $B$ es:
\begin{equation} Vol(B) = (constante)\ r^n\ \left[1 - \frac{R}{6(n+2)}r^2 + O(r^4)\ \right] \end{equation}
donde la constante depende solo de $n$, y $R$ se evalúa en $m$. . Entonces $R$ básicamente nos dice la diferencia entre el volumen de una bola pequeña en $M$ y el volumen de una bola pequeña en el Euclidiano $\mathbb{R}^n$ (a primer orden en el radio $r$).
Preguntas:
1) ¿Hay alguna generalización de esto para el caso de una variedad semi-Riemanniana?
2) Si no, ¿hay un resultado análogo para el caso de una variedad de Lorentz (es decir, una variedad semi-Riemanniana cuya firma métrica tiene $n-1$ signos más y uno negativo)?
3) Si no, ¿hay algún otro resultado que nos dé una forma clara de interpretar la curvatura escalar $R$ en una variedad semi-Riemanniana (o de Lorentz)?
Comentario:
El problema que veo es el siguiente: para definir una bola geodésica, queremos empezar con una bola "de radio $r$" en $T_mM$. Pero la métrica es indefinida, por lo que no hay una norma. Miré en el libro de Barrett O'Niell "Geometría Semi-Riemanniana" pero no encontré la respuesta allí.
¡Gracias de antemano por tu ayuda!
