Demostración de que existe una matriz diagonal para operadores lineales con subespacios invariantes complementados

Question

Me encontré con este problema en una de mis hojas de práctica y me quedé atascado en cómo resolverlo.

Sea $T : V \rightarrow V$ un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre $\Bbb C$. Supongamos que $T$ tiene la siguiente propiedad: para cada subespacio invariante $U \subset V$, existe un subespacio invariante $W \subset V$ tal que $V = U \oplus W$. Muestra que $T$ tiene una matriz diagonal con respecto a alguna base de $V.

Una cosa que sé es que como resultado directo de la última suposición, tenemos $\dim V$ vectores linealmente independientes que forman las bases de $V$ y $U$, pero no estoy seguro de cómo llegar desde aquí a mostrar que estos vectores son autovectores de T.

Cualquier ayuda sería muy apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Proceder por inducción en $\dim V$. Si $\dim V=1$, el resultado es trivial. Supongamos $\dim V>1$. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, $\mathrm{char}_T(z)$ tiene alguna raíz en $\mathbb{C}$, digamos $\lambda$. Así que hay algún autovector $v$ de $T$ con autovalor $\lambda$. Sea $U=\mathrm{span}\{v\}$, que es invariante bajo $T$ ya que $v$ es un autovector de $T$, y sea $W$ un subespacio invariante bajo $T$ tal que $V=U\oplus W$. Si elegimos una base $b_1,\ldots,b_n$ para $V$ tal que $b_1=v$ y $b_2,\ldots,b_n\in W$, entonces en esta base tenemos $$T=\begin{pmatrix} T|_U & 0 \\ 0 & T|_W\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\ 0 & T|_W\end{pmatrix}$$ y como $\dim W<\dim V$, por la hipótesis inductiva podemos elegir $b_2,\ldots,b_n$ tal que $T|_W$ sea diagonal, por lo tanto $T$ es diagonal.