¿Cómo podemos mostrar esta propiedad de un operador integral simétrico?

Question

Deja que

• $D\subseteq\mathbb R^d$ sea acotado y abierto;
• $H:=L^2(D)$
• $Q\in\mathfrak L(H)$ sea no negativo y autoadjunto con traza finita y por lo tanto $$Qf_n=\lambda_nf_n\tag1$$ para alguna base ortogonal $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ de $H$ y decreciente $(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)$.

Supongamos que $$(Qf)(x)=\int_Dq(x,y)f(y)\:{\rm d}y\;\;\;\text{para }f\in H$$ para algún $q:D^2\to[0,\infty)$ Borel medible simétrico. ¿Cómo podemos mostrar que $$\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_nf_n(x)f_n(y)=q(x,y)\tag2$$ para todo $x,y\in D$?

Claramente, podemos reescribir el lado izquierdo de $(2)$ como $$\left\langle q(x,\;\cdot\;),\sum_{n\in\mathbb N}\lambda_n\langle q(y,\;\cdot\;),f_n\rangle_Hf_n\right\rangle_H\tag3,$$ pero no puedo proceder a partir de aquí ...

La afirmación deseada se hace implícitamente en p. 450 de Una Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales Estocásticas Computacionales:

Answer 1

En esta respuesta asumo que todas las igualdades en la pregunta se interpretan como igualdades como elementos de $L^2(D)$ (es decir, se mantienen en conjuntos de medida $0$). No creo que debas esperar hacerlo mejor que esto, ya que $Qf(x)$ está de todas formas definido solo para casi todos los $x$, y la suposición de que $$Qf(x) = \int q(x,y) f(y) dy$$ para $x$ fijo solo dice algo sobre $q(x,y)$ para casi todo $y$. También usaré la característica importante de $q$ que aparece en el texto que $q \in L^2(D \times D)$.

Ten en cuenta que dado que $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$ es una base ortonormal de $L^2(D)$, $\{f_n \otimes f_m: n, m \in \mathbb{N}\}$ es una base ortonormal de $L^2(D\times D) \simeq L^2(D) \otimes L^2(D)$. Como resultado, podemos descomponer $q$ de acuerdo a esta base ortonormal y obtener que como un elemento de $L^2(D \times D)$, $$q(x,y) = \sum_{n,m} \langle q, f_n \otimes f_m \rangle_{L^2(D \times D)} f_n(x) f_m(y).$$ Ahora \begin{align*}\langle q, f_n \otimes f_m \rangle_{L^2(D \times D)} & = \iint q(x,y) f_n(x) f_m(y) dy dx = \int Qf_m(x) f_n(x) dx \\ &= \lambda_m \int f_m(x) f_n(x) dx = \lambda_n \delta_{n,m}.\end{align*} Por lo tanto, para casi todos los $(x,y) \in D \times D$, $q(x,y) = \sum_n \lambda_n f_n(x) f_n(y)$ como se deseaba.