Encuentra dos soluciones de series independientes

Question

Estoy tratando de encontrar dos soluciones de series independientes, expandidas alrededor de x = 0, que satisfagan:

$$ g''+2xg'+4g=0 $$

hasta ahora he obtenido la ecuación indicial y encontrado $r=0$ y $r=1$. Luego sustituyo las derivadas por la respectiva notación sigma y encontré $a_n=\frac{-2}{n+r-1}$.

Ahora, si $r=0$ entonces $a_n=\frac{-2}{n-1}$.

Y si $r=1$ entonces $a_n=\frac{-2}{n}$.

Intenté a partir de aquí recopilar coeficientes y encontrar las respectivas series de potencias pero no entiendo cómo hay 2 soluciones de series independientes.

Además, en el problema se da la solución general a la que estoy tratando de acercarme que es:

$$g(x)=Axe^{-x^2}+B\Sigma^{\infty}_{n=0}\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}x^{2n}$$ con A y B constantes arbitrarias.

¿Algún consejo?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Si insertamos $\sum_{n=0}^\infty x^n$ en nuestra ecuación, obtenemos $$ \sum_{n=2} a_n n (n-1)x^{n-2}+2\sum_{n=1}^\infty a_n n x^n +\sum_{n=0} 4 a_n x^n=0. $$ El lado izquierdo se puede escribir como una serie única $$ \sum_{n=0}^\infty \underbrace{[a_{n+2} (n+2)(n+1)+a_n(2n+4)}_{=:b_n} x^n=0. $$ Por lo tanto, necesitamos que todos los coeficientes $b_n =0$ y esto nos da una relación recurrente $f(a_n)=a_{n+2}$. Si elegimos $a_1$ encontramos todos los términos impares ($a_{2k+1}$) y si elegimos $a_2$ determinamos todos los términos pares $a_{2k}$.

Puedes ver aquí para entender por qué estas soluciones son independientes.

Si expandes en serie de Taylor la solución general dada por el texto, obtendrás tus 2 soluciones (observa que $xe^{-x^2}$ tiene solo términos impares en la expansión y la segunda solo los pares, por lo tanto, $A,B$ corresponden a una reescala de $a_1,a_0$ respectivamente).