Problema de estadísticas suficientes de Poisson

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea $Y_1, \dots, Y_n$ una muestra aleatoria de una distribución de Poisson $\text{Pois}(\lambda)$. Recordemos, la distribución $\text{Pois}(\lambda)$ tiene la función de probabilidad $f_{\lambda}(y) = e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^y}{y!}$, si $y = 0, 1, 2, 3, \dots$, y $\lambda > 0$.

(a) Muestra que $T(\mathbf{Y}) = \sum_{i = 1}^n Y_i$ es una estadística suficiente para $\lambda$ usando el teorema de factorización de Fisher-Neyman.

(b) ¿Cuál es la distribución de $T(\mathbf{Y})$? Obtén este resultado directamente usando la definición de estadística suficiente.

Para (a), tenemos que $L(\lambda, \mathbf{y}) = \prod_{i = 1}^n e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{y_i}}{y_i!} = e^{-n \lambda} \dfrac{\lambda^{\sum_{i = 1}^n y_i}}{\prod_{i = 1}^n y_i!}$. Entonces $T(\mathbf{y}) = \sum_{i = 1}^n y_i$, $g(t, \lambda) = e^{-n \lambda} \lambda^t$ y $h(\mathbf{y}) = \dfrac{1}{\prod_{i = 1}^n y_i!}$.

Para (b), la solución se da de la siguiente manera:

$$T(\mathbf{Y}) \sim \text{Pois}(n \lambda)$$

$$P(\mathbf{Y} \mid T(\mathbf{Y})) = \dfrac{P(\mathbf{Y}, T(\mathbf{Y}))}{P(T(\mathbf{Y}))} = \dfrac{\prod_{i = 1}^n e^{-\lambda} \dfrac{\lambda^{Y_i}}{Y_i!}}{e^{-n \lambda}\dfrac{n^T \lambda^T}{T!}} = \dfrac{1}{n^T} \dfrac{T!}{\prod_{i = 1}^n Y_i!}$$

No entiendo la solución para (b). En particular, no entiendo cómo el autor concluyó que $T(\mathbf{Y}) \sim \text{Pois}(n \lambda)$ y $P(T(\mathbf{Y})) = e^{-n \lambda}\dfrac{n^T \lambda^T}{T!}$. Agradecería mucho si alguien se tomara el tiempo para aclarar esto.

Answer 1

Si $Y_1, ..., Y_n$ son iid $\text{Pois}(\lambda)$, entonces $T(Y) = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \text{Pois}(n\lambda)$

Esto probablemente se ve más fácilmente al notar que la FGM para cada $Y_i$ es $M_{y_i}(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$, entonces la FGM para $T(Y)$ es $(M_{y_i}(t))^n = (e^{\lambda(e^t - 1)})^n = e^{(n\lambda)(e^t - 1)}$, que es la FGM para una variable aleatoria $\text{Pois}(n\lambda)$.