$|n^\alpha \sin n| \to \infty$ for some $\alpha$?

Question

¿Existe $\alpha>0$ tal que $\lim\limits_{n \to \infty} |n^\alpha \sin n| = \infty$ ?

Answer 1

$|n^\alpha sin n|=n^\alpha |sin n|$. Dado que $lim|sin n|$ tiene varios puntos de cierre, (el conjunto de puntos de cierre es el segmento [0,1]), la secuencia $|n^\alpha sin n|$ también diverge. ¡Pero no tiende a infinito! Tiene varios puntos de cierre. Entonces no hay un $\alpha$ que pueda llenar esa ecuación.