Suma de la serie $\sum_{n \ge 0}{\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}}$

Question

Quiero determinar la suma de la serie $$\sum_{n \ge 0}{\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}}$$ Sé que tiene que ver con la suma $$\sum_{n \ge 0}{\frac{x^{n}}{(n)!}}=e^x\;\; \forall x\in \mathbb R$$ Pero no puedo ver cómo empezar. ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Recuerda que $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ y $$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots.$$ Suma, divide por $2$.

Si la función $\sinh$ es desconocida, reemplázala por el equivalente $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$. Utiliza la serie de potencias para $e^t$ para encontrar la serie de potencias para $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.