Problema del Método del Disco, donde el Eje de Rotación se Desplaza desde el Eje Y

Question

¿Podría alguien por favor revisar mi trabajo aquí?

La respuesta del libro de texto es 224pi/15, pero estoy obteniendo algo diferente. ¿Es un error de configuración?

Pregunta: Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región por y = x^(1/2) y las rectas y = 2 y x = 0 alrededor de la recta x = 4.

Se supone que debo usar el método del disco para resolver esto.

En general, el volumen es la integral definida de a a b de A(x) con respecto a x, donde A(x) = pi*r^2.

¿Es la siguiente configuración correcta?:

pi * integral definida de 0 a 2 of (4-y^2)^2 con respecto a y.

Supuse que el radio tendría que ser 4 menos la función. ¿O estoy equivocado?

Cuando resuelvo eso, obtengo la respuesta de 256pi/15.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Dibuja un dibujo. La región que estamos rotando es una región vagamente triangular con esquinas $(0,0)$, $(4,2)$ y $(0,2)$.

Estamos tomando rebanadas perpendiculares al eje $y$. Aquí $y$ varía de $0$ a $2$. A la altura $y$, la sección transversal es una "arandela", un disco (círculo) con un agujero circular en él.

El radio exterior de la arandela siempre es $4$. El radio interior es $4-x$, donde $y=\sqrt{x}$. Por lo tanto, el área de la arandela es $\pi(4^2-(4-x)^2)$, que es $\pi(4^2-(4-y^2)^2)$.

Eso es lo que necesitamos integrar. Es útil simplificar antes de integrar.

Answer 2

A continuación se muestra una imagen de la región del plano $x,y$ limitada por las líneas $y = 0,$ $y = 2,$ $x = 0,$ y $x = 4.$ También se traza la función $y = x^{1/2}$.

La región limitada por $y = 2,$ $x = 0,$ y $y = x^{1/2}$ es la parte superior izquierda de este rectángulo, por encima y a la izquierda de $y = x^{1/2}$. Cuando se rota esta región alrededor de la línea $x = 4,$ no se obtiene un montón de discos. Se obtiene un montón de anillos (plural de anillo), es decir, discos con agujeros circulares cortados en ellos.

Lo que has calculado es el volumen barrido al rotar la parte inferior derecha del rectángulo alrededor de la línea $x = 4.$ Es decir, has calculado el volumen de los agujeros que fueron cortados de los discos para hacer los anillos.

La buena noticia es que el rectángulo barre una región cilíndrica cuyo volumen es fácil de calcular, y el volumen del objeto que calculaste, restado del volumen del cilindro, es el volumen del sólido deseado. Esto significa que después de establecer tu integral, realizaste la integración correctamente. De hecho, parece que restar tu respuesta del volumen del cilindro es un método legítimo de solución.

Answer 3

El error en tu parte es que encontraste la región que es el inverso del rectángulo de $4$ x $2$ (mira la imagen mostrada por David. K).

Por lo tanto, deberías estar utilizando el método de la arandela. El radio exterior es de $4$, y el radio interior es de $(4-x)$. Así que tu región integrada es $4^2 - (4-y^2)^2$

Entonces la integral es:

$$\pi\int_0^2 \left(4^2 - (4-y^2)^2\right)dy = \frac{224\pi}{15}$$

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