$L^2$ acotamiento de una secuencia

Question

Sea $f_n \in C^2(\bar{\Omega})$ una secuencia que satisface

$\Delta f_n - f_n^3 \to 0 \ \ {\rm en} \ \ L^2(\Omega)$

donde $\Omega \subset {\mathbb R}^2$ es acotado y abierto con una frontera suave. ¿Es necesariamente cierto que $\|f_n^3\|_{L^2(\Omega)}$ y $\|\Delta f_n\|_{L^2(\Omega)}$ están uniformemente acotados? Si no, ¿puede proporcionar un contraejemplo?

Si hay un contraejemplo, imagino que implicaría que $f_n$ se vuelve no acotado en $\partial \Omega$. Si es así, ¿es posible que esta afirmación sea cierta para $f_n \in C^2_c(\bar{\Omega})$ (es decir, si $f_n$ tienen soporte compacto en $\Omega$).

La razón por la que creo que podría ser cierto es que la condición $\Delta f_n - f_n^3 \to 0$ parece incompatible con la secuencia $f_n$ teniendo un máximo positivo creciente en el interior o un mínimo negativo decreciente, ya que $\Delta f_n$ y $-f_n^3$ tendrían los mismos signos y no se cancelarían. He intentado encontrar contraejemplos en una dimensión pero aún no he tenido suerte.

Answer 1

Un contraejemplo en una dimensión: toma $\Omega:=(0,1)$ y $f_n(x):=\frac{\sqrt 2}{x+\frac{1}{n}}$. Entonces $f''_n(x)-f_n^3(x)=0$ mientras que $\| f''_n \| _{2,\Omega}=\|f^3_n\|_{2,\Omega}=O(n^{5/2}) \, .$