Computación $\lim\limits_{n\to\infty}(1+1/n^2)^n$

Question

¿Por qué es $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n^2})^n = 1$?

Podría alguien elaborar sobre esto? Sé que $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$.

Answer 1

Sé que $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$

De hecho. Una consecuencia de esta declaración que usted sabe, es que existe alguna finito $K\gt1$ tal que, para cada positivos $n$, $$ 1\lt\left(1+\frac1n\right)^n\lt K, $$ (Sucede que el óptimo límite superior es $K=\mathrm e$, pero, para solucionar su problema, uno puede olvidarse de tal refinamiento.) Por lo tanto, $$ 1\lt\left(1+\frac1{n^2}\right)^n=\left(\left(1+\frac1{n^2}\right)^{n^2}\right)^{1/n}\lt K^{1/n}. $$ Desde $K^{1/n}\to1$, sin considerar el valor de $K$, esto demuestra que $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)^n=1. $$

Answer 2

Como usted sabe que $$\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e,$$ you also have $$\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n^2})^{n^2}=e,$$ which yields $$\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n^2})^{n}=\lim_{n\to \infty} \left((1+\frac{1}{n^2})^{n^2}\right)^{1/n}=\lim_{n\to \infty} e^{1/n}=1.$$ EDIT: Las dos últimas igualdades deben ser vistos juntos. Funciona porque en el interior de los paréntesis converge hacia a $e$ el $n$-ésima raíz de un número más y más a $e$. Al $n$ va al infinito, este es el mismo que el valor del límite de $e^{1/n}$.

Answer 3

Sugerencia: probar que $$ \log (1+u) \le u $$

a continuación, utilice la continuidad de $\exp$.

detalles:

$$\left(1+\frac 1{n^2} \right)^n =\exp \left(n \log\left(1+\frac 1{n^2} \right)\right) \\ 0\le n \log\left(1+\frac 1{n^2}\right) \le \frac 1n \\ 1\le \left(1+\frac 1{n^2} \right)^n \le\exp\frac 1n\a 1 $$

Answer 4

Hay algunas buenas respuestas aquí, pero quiero compartir un método que es más computacional (en que no requiere darse cuenta de ciertas desigualdades y utilizando el teorema del sándwich), y puede ayudarle con otros límites similares.

En primer lugar, una forma conveniente de tomar exponentes de un límite de expresión es tomar un logaritmo:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)^{g(n)} = \exp\left[\lim_{n \rightarrow \infty} g(n)\ln(f(n))\right]$$

Siempre que $f(n) > 0$ (y cualquiera de límite existe). En su caso, esto se convierte en:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n^2})^{n} = \exp\left[\lim_{n \rightarrow \infty} n\ln(1 + \frac{1}{n^2})\right]$$

Para evaluar el límite dentro del paréntesis de la derecha, usted puede usar la regla de l'Hospital de. Usted necesita cambiar la forma indeterminada a $0/0$ y reemplace $n$ con un "continuo de la variable' $x$:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} n \ln(1 + \frac{1}{n^2}) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x^2})}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(-\frac{2}{x^3})/(1 + \frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-\frac{2}{x^3}}{-\frac{1}{x^2}(1 + \frac{1}{x^2})}$$

Para simplificar esta última fracción, se multiplica el numerador y el denominador por $-x^4$:

$$= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{x^2 + 1} = 0$$

Finalmente, su respuesta es:

$$\exp\left[\lim_{n \rightarrow \infty} n\ln(1 + \frac{1}{n^2})\right] = \exp[0] = 1$$

Answer 5

Realmente no es necesario saber nada acerca de la sutil límite, $e=\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n$. Un binomio de expansión y algunas estimaciones brutas son suficientes aquí. Nota primero que

$${n\choose k}\left({1\over n}\right)^k={n\over n}\cdot{n-1\over n}\cdot\cdots\cdot{1\over n}\le1$$

y por lo tanto

$$\left(1+{1\over n^2}\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left({1\over n^2}\right)^k=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\left({1\over n}\right)^k{1\over n^k}\le\sum_{k=0}^n{1\over n^k}\le1+{1\over n}+{1\over n^2}(n-2)$$

El Teorema del sándwich se apodera de aquí.