A mi entender, la mayoría de las teorías matemáticas pueden ser simplemente entendidas desde el punto de vista de la Teoría de Categorías y sus teorías derivadas. Pero, ¿cuál es la motivación exacta para estudiar la teoría de categorías infinitas?
¿Por qué alguien debería, por ejemplo, mirar los morfismos entre morfismos y así sucesivamente?
Hay muchas motivaciones, pero la respuesta corta es que muchas propiedades deseables solo están disponibles en el mundo de las $\infty$-categorías. Esto es un milagro maravilloso.
Esto es particularmente visible cuando se trabaja con objetos hasta una noción de equivalencia que es más gruesa que la igualdad o el isomorfismo. Por ejemplo, si queremos trabajar con espacios hasta homotopía o con complejos de cadenas hasta cuasi-isomorfismo. El interés principal de la teoría de categorías, cuando queremos más que solo producir un lenguaje conveniente para expresar el concepto de transformación natural, es que produce construcciones muy poderosas, como adjunciones y extensiones Kan (aparecen, por ejemplo, en la formación de operaciones en haces, en representaciones de grupos). El problema es que tales construcciones se sabe que existen sistemáticamente solo si trabajamos con categorías que tienen suficientes (co)límites, mientras que la operación de hacer que los mapas no triviales se conviertan en isomorfismos reales típicamente destruye la propiedad de tener suficientes (co)límites. Es por eso que clásicamente, tenemos que realizar construcciones de teoría de categorías en entornos rígidos (espacios topológicos, complejos de cadenas...) y ver cómo se compatibilizan con nuestra noción favorita de equivalencia, lo cual puede volverse tedioso.
En contraste, en una $\infty$-categoría, todas las categorías ordinarias encajan. De hecho, podemos hacer todas las construcciones y teoremas habituales de la categoría ordinaria. Por ejemplo, si considero la categoría de espacios topológicos y quiero trabajar hasta homotopía, puedo invertir formalmente equivalencias de homotopía, exactamente como en la teoría de categorías ordinarias (es decir, a través de una propiedad universal que parece ser la misma a primera vista). Excepto que en el contexto de las $\infty$-categorías, este proceso ya no produce una categoría ordinaria, sino una genuina $\infty$-categoría, y esta última tiene todos los límites y colímites pequeños. Del mismo modo, si quiero invertir formalmente cuasi-isomorfismos de complejos de cadenas (o, más generalmente, equivalencias débiles en cualquier estructura de categoría modelo). Eso significa que podemos aplicar los métodos tradicionales de la teoría de categorías a nuestra teoría de espacios hasta homotopía, sin tener que volver a la categoría clásica de espacios y preguntarnos si lo que estamos haciendo es compatible con las equivalencias de homotopía. Pero el precio a pagar es que debemos trabajar con genuinas $\infty$-categorías. Y entonces, mientras sabemos cómo expresar las matemáticas ordinarias dentro de la teoría de categorías $\infty$, descubrimos nuevos fenómenos que no tienen lugar en las matemáticas clásicas; por ejemplo, hay $\infty$-categorías estables, es decir, aquellas en las que es increíblemente fácil producir una secuencia exacta corta: $\infty$-categorías con (co)límites finitos en las que los objetos inicial y terminal coinciden y en las que un cuadrado conmutativo es un pushout si es un pullback (ejercicio: si esta es una categoría ordinaria, debe ser equivalente a la categoría con un solo objeto y un solo morfismo, es decir, la identidad). Tales $\infty$-categorías no solo existen sino que son el núcleo del álgebra homológica (incluyendo en el sentido tradicional) y se pueden encontrar en todas partes. Esto conduce a preguntas de ambidestreza más generales que son extremadamente fructíferas en la teoría de homotopía estable y en la teoría de representaciones, por ejemplo; pero esto es simplemente la base de todo el álgebra homológica. Otro ejemplo: se puede hacer geometría en este lenguaje, y muchos espacios de móduli adquieren mejores propiedades de regularidad en el entorno superior que sus equivalentes truncados.
Al final del día, la teoría de $\infty$-categorías se parece mucho a la teoría de categorías ordinarias, excepto que siempre podemos reducir nuestros cálculos a contextos en los que solo hay una forma de identificar objetos: isomorfismos. Esto debe compararse con el zoológico: igualdad, isomorfismo, equivalencia de categorías, equivalencia de 2-categorías, equivalencia homotópica, cuasi-isomorfismos... Eso hace que el proceso de pegar objetos matemáticos sea mucho más natural (de hecho posible) en la teoría de $\infty$-categorías, que es la herramienta básica para hacer cualquier tipo de geometría. Por eso creo que no hay vuelta atrás.
"¿Por qué alguien, por ejemplo, debería mirar los morfismos y así sucesivamente?"
En cierto sentido, la gente ha estado observando morfismos entre morfismos tanto tiempo como han estado mirando morfismos. Al menos, han estado mirando mapas naturales (que son mapas entre funtores, es decir, mapas entre morfismos en la categoría de categorías) tanto tiempo como han estado mirando categorías y funtores.
Se dice que cuando Eilenberg y Mac Lane inventaron la teoría de categorías necesitaban categorías y funtores para dar sentido a lo que querían decir con mapas naturales.
Permíteme intentar dar una respuesta de algebraísta. Luché con exactamente esta pregunta durante muchos meses en el contexto de la categoría de módulos estables, y me llevó muchas conversaciones con algunos de los mejores practicantes, para llegar a una respuesta que me satisfaciera.
Mi contexto es el siguiente. Sea $G$ un grupo finito y $k$ un campo de característica $p$ que divide a $|G|$. Entonces la categoría de módulos estables $\mathop{\rm stmod}(kG)$ de módulos de $kG$ finitamente generados es una categoría triangulada tensorial. La gran categoría de módulos estables $\mathop{\rm StMod}(kG)$ consiste en todos los módulos de $kG$, y es difícil de reconstruir a partir de la pequeña, porque los colímites filtrados requieren que primero te eleves a la categoría de módulos. Si no haces esto, pierdes los "mapas fantasma" - es decir, los mapas que se factorizan a través de un módulo proyectivo en la restricción a cada submódulo finitamente generado.
Ahora, si consideras $\mathop{\rm stmod}(kG)$ no como una categoría triangulada sino como una categoría infinita estable, entonces hay suficiente estructura adicional para que puedas recuperar $\mathop{\rm StMod}(kG)$ como la ind-compleción. Los mapas fantasma de alguna manera vienen por sí solos.
Por otro lado, puedes deshacerte con bastante menos. Si consideras $\mathop{\rm stmod}(kG)$ como la categoría homotópica de resoluciones de Tate de módulos finitamente generados, en otras palabras como la categoría homotópica de complejos exactos de módulos inyectivos finitamente generados $=$ proyectivos de $kG$, entonces hay una mejora natural a una categoría diferencial graduada, y como categoría diferencial graduada, la ind-completación sigue teniendo sentido. Y resulta que la información adicional en la categoría infinita es esencialmente la misma que la de la categoría diferencial graduada. Así que, por ejemplo, las equivalencias a nivel de categorías infinitas son exactamente las mismas que las equivalencias a nivel de categorías diferenciales graduadas. En particular, estas son las "equivalencias estables de tipo Morita" en la teoría de representaciones modulares.
Pero hay al menos un giro en la historia. Un problema con la versión diferencial graduada es que la identidad tensorial, que es la resolución de Tate del campo de coeficientes, es solo una identidad tensorial hasta "todas las homotopías superiores" y no estrictamente. La versión de categoría infinita, por otro lado, logra tener una identidad tensorial "lo suficientemente estricta" para evitar problemas que esto pueda causar.
Todavía puedo tener algunos conceptos erróneos sobre esto, y espero que si los tengo, alguna alma amable me corrija sin hacerme sentir demasiado mal al respecto. ¿Toby? ¿Alguien?
La necesidad de las $n$-categorías surge naturalmente de consideraciones de las $(n-1)$-categorías, así que antes de adentrarnos en el caso $n=\infty$ creo que vale la pena pensar en algunos ejemplos importantes de $2$-categorías.
En primer lugar, las categorías mismas forman una $2$-categoría, porque los funtores tienen transformaciones naturales entre ellos. La mayoría de las construcciones teóricas de categorías solo funcionan correctamente cuando las categorías se tratan hasta la equivalencia en lugar de hasta el isomorfismo, y formalizar la equivalencia requiere esta estructura $2$-categórica. El concepto de adjunción también es inherentemente $2$-categórico.
Otro ejemplo interesante es la $2$-categoría de bimódulos. Tiene anillos como objetos, bimódulos $(A,B)$ como morfismos entre los anillos $A$ y $B$, con el producto tensorial como composición. Es una $2$-categoría porque los bimódulos $(A,B)$ mismos forman una categoría en lugar de un conjunto, y el producto tensorial es solo asociativo hasta el isomorfismo en lugar de ser "exacto". La equivalencia entre anillos vistos como objetos en esta $2$-categoría es precisamente la equivalencia de Morita, por lo que esta $2$-categoría es el lenguaje natural para la teoría de Morita.
Esto realmente debería ser un comentario sobre la respuesta de Alexander, pero hay limitaciones de tamaño de comentario y todo eso.
Para mí, 'teoría de categorías infinitas' significa categorías infinitas débilmente completas, algo que aún no se ha estudiado realmente pero que sigue siendo naturalmente motivado por consideraciones como las mencionadas en la respuesta de Alexander.
Nos vemos naturalmente arrojados al reino de las $1$-categorías cuando queremos estudiar estructuras en conjuntos, y más arrojados al reino de las $2$-categorías cuando queremos estudiar estructuras en categorías; más generalmente, estamos obligados a sumergirnos en el reino de las $n+1$-categorías cuando queremos estudiar estructuras en $n$-categorías para cualquier $n<\omega$.
¿Qué pasa si queremos estudiar estructuras en todas estas cosas a la vez? Y bam, bienvenidos al mundo de la teoría de categorías infinitas, sin necesidad de '$\omega-1$-categorías' como sugiere lambda si queremos motivación para estudiar categorías infinitas, solo $n$-categorías para todos los $n$ y cuantificación universal.
Por supuesto, esto implica implícitamente que la 'verdadera' teoría de categorías infinitas es realmente un estudio de cómo funciona la estructura en su totalidad; esto es algo deseable en mi opinión, independientemente de cualquier otra consideración.
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