¿Se cumple $(x_1v = x_2v) \implies (x_1 = x_2)$ donde $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ y $v \in V$?

Question

Si $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ son escalares y $v \in V$ es cualquier vector en un espacio vectorial $V$, ¿es cierto que

$$ (x_1v = x_2v) \implies (x_1 = x_2) $$

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Supongo que esto se podría denominar una ley de cancelación, pero juro que no pude encontrar este resultado en "Álgebra Lineal Hecho Correctamente" de Axler. Necesito este resultado (si es cierto) para justificar otra cosa.

Answer 1

V puede ser un vector cero. Por lo tanto, es verdadero solo cuando dices que V no es un vector cero.

Answer 2

Supongo que esto sería llamado una ley de cancelación, pero juro que no pude encontrar este resultado en "Álgebra Lineal Hecho Bien" de Axler.

No está en LADR, pero el resultado se sigue del problema $2$, EJERCICIOS $1$.B en LADR:

Supongamos que $a\in\Bbb F$, $v\in V$, y $av=0$. Demuestre que $a=0$ o $v=0$.

Por lo tanto, $x_1v=x_2v\implies(x_1-x_2)v=0\implies x_1=x_2 \ \ \text{or} \ \ v=0$.