Resolviendo una ecuación diofantina3

Question

La ecuación diofántica que tengo que resolver es: $$343x^2-27y^2=1$$ Esta pregunta ya ha sido publicada por otro usuario pero no ha recibido respuesta. He logrado resolverla.

Este es mi intento:

Al sustituir $x^2=u$ y $y^2=v$ la ecuación se convierte en una ecuación lineal diofántica: $$343u-27v=1$$ usando el algoritmo de Euclides para resolver la ecuación, las soluciones son: $$ \left\{ \begin{array}{ll} u=10+27k \\ v=127+343k\end{array} \right. $$ al sustituir estas soluciones en la primera ecuación obtenemos: $$y^2=127+343\cdot (\frac {x^2-10}{27})$$ $x^2-10$ tiene que ser múltiplo de $27$ por lo tanto $$x^2=c27+10 \tag{1}$$ (con $c$ entero)

$(1)$ se convierte en $$(x-1)(x+1)=9\cdot (3c+1)$$ obteniendo dos sistemas: $$ \left\{ \begin{array}{ll} x+1=n9 \\ x-1=\frac {3c+1}{n}\end{array} \right. $$ y $$\left\{ \begin{array}{ll} x-1=n9 \\ x+1=\frac {3c+1}{n}\end{array} \right. $$ La solución del primero es $c=3p+1$ (con $p$ entero): de hecho, si $x+1\equiv 0\pmod 3$ $c$ tiene que ser $c\equiv 1\pmod 3$ porque $c(x-1)-1$ tiene que ser un múltiplo de $3$. La solución del segundo sistema es $c=3p+2$: de hecho, si $x-1\equiv 0\pmod 3$ $c\equiv 2\pmod 3$. ¿Cómo puedo continuar y hay otras soluciones?

Answer 1

Para la generalización de la pregunta de la ecuación de Pell surge constantemente. Por ejemplo en este hilo.

Siempre que la prueba de la ecuación de Pell sea resoluble, tiene infinitas soluciones

Entonces se escribe la ecuación de Pell en forma general.

$$Ap^2-Bs^2=1$$

Si conocemos alguna solución de esta ecuación. $( p ; s)$

Si usamos alguna solución de la siguiente ecuación de Pell.

$$x^2-ABy^2=1$$

Luego, la siguiente solución de la ecuación deseada se puede encontrar mediante la fórmula.

$$p_2=xp+Bys$$

$$s_2=xs+Ayp$$

Answer 2

$343x^2-27y^2=1$

$⇒343x^2≡1 mod 27$

$343≡19 mod 27$

podemos encontrar que si $x=8$ obtenemos:

$343 . 8^2 ≡ 1 mod 27$

Podemos ver que x pertenece a un conjunto cuyos miembros forman una progresión aritmética y tienen la siguiente especificación:

$s . 19 ≡ 1 mod 27$; $s = [10, 37, 64, . . a+27k]$

donde $a=10$; y $d=27$ es la razón común.

Con $k=5257504398$ obtenemos $x=376766$

También $y^2=343 k$ lo que nos da $y=1342879$

Por lo tanto, la solución paramétrica es:

$x=\sqrt{10+27k}$

$y=\sqrt{343 k}$

Esta ecuación probablemente tenga más soluciones.