Independencia del álgebra sigma

Question

Estoy tratando de establecer si lo siguiente es cierto (mi intuición me dice que lo es), más importante aún, si es cierto, necesito establecer una prueba.

Si $X_1, X_2$ y $X_3$ son variables aleatorias independientes dos a dos, entonces si $Y=X_2+X_3$, ¿$X_1$ es independiente de $Y$? (Se puede pensar en un ejemplo donde las $X_i$ son variables aleatorias de Bernoulli, entonces la respuesta es sí, en el caso general no tengo idea de cómo probarlo.)

Un problema relacionado es:

Si $G_1, G_2$ y $G_3$ son sigma álgebras independientes dos a dos, ¿es $G_1$ independiente de la sigma álgebra generada por $G_2$ y $G_3$ (que contiene todos los subconjuntos de ambos, pero tiene conjuntos adicionales como la intersección de un conjunto de $G_2$ y un conjunto de $G_3$)?

Esto surgió cuando intentaba resolver lo siguiente: Supongamos que un movimiento Browniano $\{W_t\}$ está adaptado a la filtración $\{F_s\}$, si $0

Por definición, los incrementos futuros individuales son independientes de $F_s$, no sé cómo demostrar que la combinación lineal de los incrementos futuros es independiente de $F_s, intuitivamente, por supuesto, tiene sentido...

Cualquier ayuda es muy apreciada.

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Gracias por las pistas, creo que he avanzado en mi comprensión, por favor, confirma esto si es posible.

En una de las suposiciones del movimiento Browniano $\{W_t\}$ está adaptado a una filtración $F_t$, ¿asumimos:

A) Cada incremento $(W_t-W_s)$ es independiente de $F_u$ para $0

O

B) Cualquier número de incrementos disjuntos (en el futuro del tiempo $s$) y $F_s$ son mutuamente independientes.

Bajo B) entonces la suposición responde a mi problema. Bajo A), si la filtración es la generada por el movimiento Browniano, entonces la independencia mutua requerida se puede deducir de la independencia mutua de los incrementos brownianos. Sin embargo, bajo A), si la filtración no es necesariamente la generada por el movimiento Browniano, ¿todavía es posible demostrar la independencia mutua requerida? Si es así, por favor ayúdame, pasé mucho tiempo intentando resolverlo.

Muchas gracias.

Answer 1

No, $X_1$ y $Y$ no necesariamente son independientes. Considere un ejemplo estándar de tres variables aleatorias independientes por pares que no son independientes: $X_2$ y $X_3$ independientes, cada una con valores $-1$ y $1$ con probabilidades $1/2$, $X_1 = X_2 X_3$. Entonces $Y = X_2 + X_3$ no es independiente de $X_1$, de hecho $Y = 0$ si y solo si $X_1 = -1$.

Answer 2

Robert Israel ya ha dado un contraejemplo a tu primera pregunta, y también da un contraejemplo para tu segunda pregunta (sea $G_i = \sigma(X_i)$).

En cuanto a tu pregunta sobre el movimiento Browniano, creo que no está formulada correctamente: decir que $W_t$ está adaptado a $\{F_t\}$ usualmente significa que $W_t \in F_t$ para cada $t$. También necesitas saber que $W_t - W_s$ es independiente de $F_s$, lo cual no se deduce únicamente de la adaptación. Esta suposición más fuerte a veces se enuncia como "$W_t$ es un movimiento Browniano con respecto a la filtración ${F_t}$".

Bajo esta suposición, la respuesta a tu pregunta es sí, y la clave es que $F_s$, $W_{t_2} - W_{t_1}$ y $W_{t_3} - W_{t_2}$ no son simplemente independientes de a pares, son independientes mutuamente. Te recomendaría intentar probar esto. Una vez hecho, no es muy difícil obtener una prueba para tu problema. Inténtalo y vuelve a preguntar si tienes más dudas.

Editar: En cuanto a tus preguntas revisadas (actualmente publicadas como otra respuesta), la suposición usual es (A), pero (A) implica (B). Para ver por qué, supongamos $s \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4$, $A \in F_s$, $B \in \sigma(W_{t_2} - W_{t_1})$, $C \in \sigma(W_{t_4} - W_{t_3})$. Debemos mostrar que $$P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B) P(C).$$ La clave es que $A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C$, y $A \cap B \in F_{t_2}$ (verifícalo). Pero $C$ es independiente de $F_{t_2}$. Ahora espero que puedas terminar el argumento, y extenderlo a cualquier cantidad de incrementos.