¿Por qué es importante la propiedad de desigualdad del triángulo para los espacios métricos?

Question

Hay una propiedad en la axiomatización del espacio métrico: $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$. Entiendo que esta propiedad se aplica bien cuando se trata de medir distancias entre puntos. Sin embargo, parece ser irrelevante en las definiciones de continuidad, conjunto abierto y algunos otros conceptos clave.

Mi libro de topología dice que está afirmando "la transitividad de la cercanía", un término vago que me confunde. Entonces, ¿por qué es importante esa propiedad? ¿Por qué los fundadores (si es que hubo alguno) de la topología la consideraron en primer lugar? ¿Y qué sucede si esa propiedad se omite?

Answer 1

Por transitividad de la cercanía, tu libro probablemente significa algo así: si $d(x, y) < \epsilon$ y $d(y, z) < \epsilon$, entonces $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$; es decir, si $x$ está "cerca" de $y$ y $y$ está "cerca" de $z", entonces $x$ está "cerca" de $z".

Answer 2

La métrica es en realidad una forma de medir la distancia entre dos puntos en el espacio. La desigualdad triangular es intuitivamente una generalización (también una condición más débil) del hecho de que el camino más corto de un punto a otro es el segmento de línea que conecta los dos puntos. Además, si la desigualdad triangular no se cumple, se verá algo realmente absurdo. Un ejemplo ridículo es $$0=d(x,x)\geq d(x,y)+d(y,x)\geq 0$$ Por lo tanto, $d(x,y)=0$ para cada punto $y$, lo que hace que todos los puntos coincidan desde el punto de vista métrico. En resumen, la desigualdad triangular promete que la definición de métrica está bien definida y tiene sentido.