Esto es realmente un problema de álgebra lineal - uno puede trabajar un espacio de la tangente en un momento. (En particular, todo esto funciona incluso si $\omega$ no está cerrado).
Por lo tanto, vamos a $\omega$ ser un no-degenerada antisimétrica forma bilineal sobre un espacio vectorial $V$. Me gustaría probar $\omega^n\neq 0$ a través de una secuencia de lemas.
Lema 1: Hay una base $\{e_i, f_j\}$ $V$ que $\omega(e_i,e_j) = \omega(f_i,f_j) = 0$ $$\omega(e_i,f_j) = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j\end{cases}.$$
Esto se prueba por inducción. En algún momento, usted probablemente va a utilizar en el hecho siguiente: Dado cualquier subespacio $W\subsetneq V$, el subespacio $$W^\bot = \{v\in V: \omega(v,w) = 0\text{ for all } w\in W\}$$ has positive dimension - $\{0\} \subsetneq W^\bot$. This follows since $W^\bot$ is an intersection of $\dim W$ hyperplanes (codimension 1 planes), corresponding to $\ker(\omega(w_i,\cdot))$ where $\{w_i\}\subseteq W$ is a basis of $W$.
La base se llama simpléctica. Si $\omega$ es permitido ser degenerado, la declaración se ha modificado para tener una base de la forma $\{e_i, f_j, u_k\}$ donde $\omega(u_k,\cdot ) = 0$.
Lema 2: Con respecto a un simpléctica base, $\omega$ tiene la forma $\sum_i e_i^\ast\wedge f_i^\ast$
Así, demostrando $\omega^n\neq 0$ esta $\omega$ da el resultado.
Lema 3: $$\omega^k = k! \sum_{1\leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n } e^\ast_{i_1}\wedge f^\ast_{i_1} \wedge \ldots \wedge e^\ast_{i_k} \wedge f^\ast_{i_k}$$ so, in particular, $\omega^n = n! e^\ast_{1} \wedge f^\ast_{1} \wedge \ldots \wedge e^\ast_n \wedge f^\ast_n$, and hence $\omega^n(e_1,f_1,\ldots e_n,f_n) = n!\neq 0$, so $\omega^n$ is not $0$.
Lema 3 se prueba por inducción.
