Transitividad de la Algebraicidad de Extensiones de Campos: el recíproco

Question

Sea $k\subset K \subset L$ extensiones de campos.

Si $K/k$ y $L/K$ son algebraicas, entonces $L/k$ es algebraica. ¿Y al revés?

¡Gracias!

Answer 1

Esta respuesta está principalmente inspirada en el comentario explicativo de Jyrki.

Supongamos que L/k es algebraico.

Sea $x\in L$. x es algebraico sobre $k$, lo que significa: $\exists P\in k[X]: P(x)=0$.

Pero $P\in k[X] \subset K[X]$ entonces x es algebraico sobre $K$ y $L/K$ es algebraico.

Sea $y\in K$. $y\in L$ entonces $y$ es algebraico sobre $k$ y $K/k$ también es algebraico.