¿Cuántas funciones posibles puede haber de $X$ a $Y$?

Question

Esta fue una pregunta opcional dada por mi profesor:
Dado que $|X| = n$ y $|Y| = m$, ¿cuántas funciones existen de $X$ a $Y?

Sé que una función debe tomar cada valor $x \in X$, dando solo un valor $y = f(x) \in Y.

Supongamos que $n

Entonces, para cada elemento en $X$, hay $m$ opciones para elegir el valor. Por lo tanto, en total habría $n^m$ opciones para mapear $n$ elementos de $X$ a los $m$ elementos en $Y.

Supongamos que $n>m$.
Entonces, por un razonamiento similar, habrá $m^n$ opciones.

Si $m=n$ entonces la cantidad de formas es $n^n = m^m.

¿Es esto correcto? Si es así, ¿hay una mejor manera y si no, cómo lo habría hecho?

Answer 1

Para cada elemento en $X$, hay $m$ opciones para elegir en total, por lo tanto, en total, hay $$\overbrace{m \times \ldots \times m}^{n \text{ veces}} = m^n.$$

El mismo argumento funciona independientemente de si $m$ es mayor que $n$.

Answer 2

N$^m$ como indicaste; no es necesario tener 3 casos, el razonamiento es el mismo. Buen trabajo