Ecuación diferencial : solución no homogénea, encontrando YP

Question

Hola tengo un problema para esta ecuación diferencial: $$ \frac{d^{3}y}{dx^3} - 9\frac{dy}{dx} = 10 - 4x $$ sé que primero debemos resolver la ecuación homogénea: y mi resultado es: $C_1 + C_2e^{3x} + C_3e^{-3x}$

estoy realmente confundido para encontrar yp de $10 - 4x$, mi amigo dijo que debe ser: $(ax+b)x$ mi pregunta es:
1. ¿por qué no es $c - (ax + b)$?
2. si es lo mismo que $c1$ de yh (solución homogénea), ¿por qué no multiplicamos $c$ por x? entonces $yp = cx - (ax + b) $
3. ¿y por qué $(ax+b)$ debe ser multiplicado por $x?

¿alguien puede explicarme? gracias a quien me haya ayudado.

Answer 1

Es fácil ver que si un polinomio resuelve la EDO no homogénea $$\tag{ODE} y'''-9y'=10-4x, $$ debe ser de grado $2$. Por lo tanto, tenemos $$ p'''(x)-9p'(x)=10-4x \iff -9p'(x)=10-4x \iff p'(x)=-\frac{10}{9}+\frac49x, $$ es decir, $$ p(x)=-\frac{10}{9}x+\frac29x^2 $$ Estableciendo $$\tag{2} z=y-p,\ u=z' $$ vemos que $z$ resuelve la ecuación homogénea $$\tag{ODE'} z'''-9z'=0, $$ y por lo tanto $u$ resuelve la EDO de segundo orden $$ u''-9u=0 $$ cuya solución es $$ u(x)=-3c_1e^{-3x}+3c_2e^{3x}, \ c_1,c_2 \in \mathbb{R}. $$ Se sigue que $$ z(x)=c_3+c_1e^{-3x}+c_2e^{3x},\ c_3 \in \mathbb{R} $$ y $$ y(x)=c_3-\frac{10}{9}x+\frac29x^2+c_1e^{-3x}+c_2e^{3x}. $$

Answer 2

Problemas relacionados: (I). Utilizamos el método del aniquilador. Sea $D=\frac{d}{dx}$. Ahora, aplicamos $D$ dos veces a ambos lados de la ecuación diferencial para transformarla en una ecuación diferencial homogénea, así que tenemos

$$ D^2(D^3-9D)y=D^2(10-4x)=0\implies D^3(D^2-9)y=0. $$

La última ecuación te da la ecuación auxiliar de la nueva ecuación diferencial homogénea que nos permite escribir la solución general de la nueva ecuación diferencial homogénea

$$ m^3(m^2-9)=0 \implies m=0,0,0,3,-3,$$

lo que da la solución general

$$ y(x) = c_1+c_2x+c_3x^3+c_4e^{3x}+c_5e^{-3x}=(c_1+c_4e^{3x}+c_5e^{-3x})+c_2x+c_3x^2 \rightarrow(1).$$

Puedes reconocer que la expresión entre paréntesis en la ecuación $(1)$ corresponde a la solución de la ecuación diferencial homogénea original

$$ \frac{d^{3}y}{dx^3} - 9\frac{dy}{dx} = 0. $$

Entonces, los otros términos en $(1)$ te dicen sobre la forma de $y_p$ de la ecuación diferencial original que asumes como

$$ y_p=Ax +Bx^2. $$

Answer 3

La solución no homogénea aquí será de la forma

$$y_p(x) = a (10-4 x)^2 + b$$

tal que $y_p(0) = 0$ (valores subsecuentes de $y_p'(0)$ y $y_p''(0)$ tendrán que ser tomados en cuenta en las condiciones iniciales generales sobre la solución $y$). La razón por la que tiene una forma cuadrática es que tienes un $y'$ pero no un $y$ en tu ecuación.

Al poner esta forma en la ecuación y resolver para $a$ y $b$ (a partir de la condición inicial), obtengo

$$y_p(x) = \frac{1}{72} (10-4 x)^2 - \frac{25}{18}$$