Demostrar que si $P_1, P_2$ y $P_1+P_2$ son proyecciones, entonces $P_1P_2 = 0$

Question

Supongamos que $P_1, P_2$ y $P_1+P_2$ son proyecciones. Demuestra que $P_1 P_2 = 0$.

Dado que $P_1+P_2$ es una proyección, debe cumplir con $(P_1+P_2)^2 = P_1+P_2$, es decir, $$(P_1+P_2)^2 = P_1^2 + P_2P_1 + P_1P_2 + P_2^2 = P_1 + P_2P_1 + P_1P_2 + P_2 = P_1 + P_2$$ entonces $P_2P_1 + P_1P_2 = 0$ o $P_1P_2 = -P_2P_1$. ¿Cómo puedo concluir ahora que $P_1P_2 = 0$?

Answer 1

Suponga que $P_1$ y $P_2$ son elementos de alguna álgebra de operadores sobre un campo $\Bbb F$ con

$\text{char} \; \Bbb F \ne 2. \tag 0$

Dado que

$P_1^2 = P_1, \tag 1$

y

$P_2^2 = P_2, \tag 2$

y

$(P_1 + P_2)^2 = P_1 + P_2, \tag 3$

observe que

$P_1 + P_2 = (P_1 + P_2)^2 = P_1^2 + P_1P_2 + P_2P_1 + P_2^2 = P_1 + P_1P_2 + P_2P_1 + P_2, \tag 4$

entonces

$P_1P_2 + P_2P_1 = 0; \tag 5$

multiplique a la izquierda esto por $P_1$:

$P_1P_2 + P_1P_2P_1 = P_1^2P_2 + P_1P_2P_1 = 0; \tag 6$

multiplique a la derecha (5) por $P_1$:

$P_1P_2P_1 + P_2P_1 = P_1P_2P_1 + P_2P_1^2 = 0; \tag 7$

se sigue entonces que

$P_1P_2 = -P_1P_2P_1 = P_2P_1; \tag 8$

también, de (5),

$P_1P_2 = -P_2P_1; \tag 9$

sumemos (9) y (10):

$2P_1P_2 = P_2P_1 - P_2P_1 = 0; \tag{10}$

entonces en virtud de (0),

$P_1P_2 = 0, \tag{10}$

$OE\Delta$.

Observando la simetría entre $P_1$ y $P_2$ también se sigue que

$P_2P_1 = 0. \tag{11}$