¿Solución compleja a la ecuación de Euler-Lagrange?

Question

Actualmente estoy trabajando en Cálculo de Variaciones y me encontré con una integral que tuve que minimizar. La integral que tengo que minimizar es $$\int_0^1(1+y'^2)^2\,dx$$ Después de obtener la ecuación de Euler-Lagrange para esto, tiene 3 soluciones. Una solución real y dos soluciones imaginarias. Ahora mi pregunta es si las soluciones complejas son soluciones significativas ya que estamos buscando una función que minimice la integral, que es real.

Físicamente tendría sentido elegir solo la solución real pero este es puramente un curso de matemáticas, ¿así que se consideran las soluciones complejas a la ecuación de EL como soluciones válidas?

Editar: La ecuación EL que obtuve es: $$4y''(1+3y'^2)=0$$ Lo cual me da $$y(x)=c_1x+c_2,\quad \text{o} \quad y(x)=\pm \frac{i}{\sqrt3}x+c_3$$

Answer 1

En primer lugar, observe cómo su segunda solución es simplemente un caso especial $c_1=\pm\frac i{\sqrt3}, c_2=c_3$ de la primera solución. Por lo tanto, podría elegir $c_1=i$ para obtener una integral nula, lo cual sería bastante mínimo. Pero debería mantenerse con valores reales y así sustituir su primera solución en la integral y minimizarla con respecto a $c_1$ (spoiler: $c_1=0).

Sin embargo, una vez que permita valores complejos, $\int_0^1(1+y'^2)^2\,dx$ ya no tiene sentido para la minimización, ya que esa integral puede volverse compleja y, por lo tanto, no hay un orden por el cual determinar qué es "mínimo". Necesita involucrar valores absolutos, por ejemplo, $\int_0^1(1+|y'|^2)^2\,dx$ o $\int_0^1|1+y'^2|^2\,dx$. Y dado que ahora está tratando con funciones complejas, el conjugado complejo de $y$, $\bar y$, es una función independiente (alternativamente puede dividir $y$ en parte real e imaginaria para obtener dos funciones reales independientes), es decir, también debe considerar $-\frac d{dx}\frac{\partial}{\partial \bar y'}$ para obtener una segunda ecuación de Euler-Lagrange, acoplada a la otra.