Estoy buscando una función medible $f$ definida en $]0,1[$ tal que:
$$f \star f(x) = \int_{0}^1 f(x-y) f(y) \ \mathrm{d}y = \frac{1}{1-x}$$ para (casi) cualquier $x \in ]0,1[$.
¿Es posible encontrar o construir tal función f? Eventualmente, podemos definir $f$ en $\mathbb{R}$ con $f=0$ fuera de $]0,1[$.
Cualquier ayuda o consejo sobre cómo proceder es bienvenida. Ya he intentado sin éxito:
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buscar $f$ en forma de fracción racional
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buscar $f$ en la forma $\sum_{n} a_n x^n$
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buscar $f$ en la forma $e^{F(x)}$ con un $F$ adecuado.
También empecé a considerar la transformada de Fourier y las series de Fourier (por periodización en $]0,1[$) pero es difícil definir la transformada de Fourier del lado derecho $\frac{1}{1-x}$. También en cuanto a la regularidad de $f$, podemos ver que $f$ no puede estar en $L^1(]0,1[)$ debido a las propiedades de regularidad de la convolución.
