¿Por qué la desigualdad del triángulo parece ser falsa cuando se reescribe basándose en $|x| = \sqrt{x^{2}}?

Question

La desigualdad del triángulo es $$|x + y| \leq |x| + |y|.$$

También sabemos que $|x| = \sqrt{x^{2}}$. Entonces,

\begin{align*} \sqrt{x + y} &\leq \sqrt{x} + \sqrt{y} \\ x + y &\leq x + y + 2\sqrt{xy} \\ 0 &\leq 2\sqrt{xy} \\\\ \sqrt{xy} &\geq 0 \end{align*}

Ahora, podemos ver que la desigualdad $|x + y| \le |x| + |y|$ se cumple para $x$ y $y$ reales, pero $\sqrt{xy} \geq 0$ no se cumple para $x < 0, y > 0$ o $x > 0, y < 0$.

¿Cuál parece ser el problema? ¿Es la afirmación $|x| = \sqrt{x^{2}}$ o es mucho más que eso?

Answer 1

La afirmación que has escrito usando $|x|=\sqrt {x^2}$ está equivocada. La afirmación correcta sería: $$\sqrt {(x+y)^2}\leq \sqrt {x^2}+\sqrt {y^2}$$ la cual, de hecho, es válida para todos los números reales $x,y$, como se puede verificar al elevar al cuadrado y simplificar.

Answer 2

El problema no está en escribir $|x|=\sqrt{x^2}$: esa afirmación es verdadera siempre que $x$ sea un número real. Pero la traducción correcta de $|x+y|\le|x|+|y|$ es $$ \sqrt{(x+y)^2} \le \sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} \tag{*}\label{*} \, , $$ no lo que escribiste. Para demostrar que $\eqref{*}$ es verdadero, podemos usar el hecho de que si $a$ y $b$ son no negativos, entonces $a\leq b \iff a^2\le b^2$. Por lo tanto, \begin{align} & \sqrt{(x+y)^2} \le \sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} \\[4pt] \iff & (x+y)^2 \le x^2+y^2+ 2\sqrt{x^2}\sqrt{y^2} \\[4pt] \iff & x^2+y^2+2xy \le x^2+y^2 + 2|x||y| \\[4pt] \iff & 2xy \le 2|x||y| \\[4pt] \iff & xy \le |x||y| \\[4pt] \iff & xy \le |xy| \, . \end{align} Dado que la línea final es verdadera para todos los $x,y\in\Bbb{R}$, la primera línea también debe ser cierta para todos los $x,y\in\Bbb{R}$.