Área de triángulos vs. triángulos de comparación.

Question

Sea $X$ una variedad riemanniana completa, simplemente conexa que satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática (gruesa). (Es decir, existe una constante $C_{0}$ tal que cada lazo de longitud $\ell$ tiene un disco de relleno de área $\leq C_{0}\ell^{2} + C_{0}$.)

Para puntos $a, b, c\in X$, define $Area_{X}(a,b,c)$ como el área mínima de cualquier triángulo geodésico en $X$ con vértices $a, b, c$. Define $Area_{comp}(a,b,c)$ como el área de un triángulo euclidiano con longitudes de lado $d(a,b)$, $d(b,c)$ y $d(c,a)$.

¿Existe una constante $C$ tal que para todo $a, b, c\in X$ tengamos:

$Area_{X}(a,b,c)\leq C Area_{comp}(a,b,c)+C$?

Si la respuesta es no, ¿existen contraejemplos cuando $X$ es homogéneo?

Answer 1

Número.

Sopla una burbuja del mismo tamaño en cada punto entero de $\mathbb R^2$. Claramente la desigualdad isoperimétrica gruesa se cumplirá.

Por otro lado, la métrica global en el plano puede acercarse arbitrariamente a la métrica de Manhattan, en particular habrá triángulos que limitan un área arbitrariamente grande mientras que su área de comparación está cerca de cero.