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Área de triángulos vs. triángulos de comparación.

Sea X una variedad riemanniana completa, simplemente conexa que satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática (gruesa). (Es decir, existe una constante C0 tal que cada lazo de longitud tiene un disco de relleno de área C02+C0.)

Para puntos a,b,cX, define AreaX(a,b,c) como el área mínima de cualquier triángulo geodésico en X con vértices a,b,c. Define Areacomp(a,b,c) como el área de un triángulo euclidiano con longitudes de lado d(a,b), d(b,c) y d(c,a).

¿Existe una constante C tal que para todo a,b,cX tengamos:

AreaX(a,b,c)CAreacomp(a,b,c)+C?

Si la respuesta es no, ¿existen contraejemplos cuando X es homogéneo?

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crashmstr Puntos 15302

Número.

Sopla una burbuja del mismo tamaño en cada punto entero de R2. Claramente la desigualdad isoperimétrica gruesa se cumplirá.

Por otro lado, la métrica global en el plano puede acercarse arbitrariamente a la métrica de Manhattan, en particular habrá triángulos que limitan un área arbitrariamente grande mientras que su área de comparación está cerca de cero.

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