¿Cómo calculo el área de la región sombreada?

Question

Me gustaría encontrar el área de la región sombreada que está circundada por un triángulo como se muestra en la imagen de abajo.

Nota: Intenté dibujar otro círculo alrededor del triángulo, pero me resulta difícil deducir el área sombreada.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Que el área del triángulo sea $\Delta$ y el inradio sea $r$. Entonces dividiendo el triángulo en tres al unir cada vértice con el incentro obtenemos $r(a+b+c)=2\Delta$. El área del círculo es $\pi r^2$. Así que todo lo que necesitamos es la fórmula para $\Delta$ que es $\Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, donde $s=(a+b+c)/2$.

Con $a=15, b=14, c=13$, tenemos $s=21$, entonces $\Delta=84$ y por lo tanto $r=168/42=4$. Entonces el área sombreada es $84-16\pi\approx33.73$.