Considera la función $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ donde f(x)= \begin{cases} \frac 1q & \text{si } x\in \mathbb{Q} \text{ y } x=\frac pq \text{ en términos más bajos}\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases>
Determina si $g$ está en $\mathscr{R}$ en $[0,1]$ y prueba tu afirmación. Para este problema puedes considerar que $0= 0/1$ está en términos más bajos.
Aquí está un intento. Puede que haya abusado un poco de la notación aquí, pero las ideas están.
Prueba:
Deja que $M_i = \sup \limits_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$.
Observa primero que las sumas inferiores de Riemann siempre son $0$, ya que cada intervalo contiene un número irracional. Por lo tanto, para probar que $f \in \mathscr{R}$, es suficiente demostrar que, dado cualquier $\epsilon >0$, $\sum \limits_{i \in P} M_i \Delta x_i < \epsilon$ para alguna partición.
Deja que $\epsilon > 0 $ y $M > \frac{2}{\epsilon}$. Primero mostramos que existe $\eta(x,\frac{1}{M})$ tal que $|f(x) - f(y)| < \frac{1}{M}$ si $|x-y| < \eta$. Fija $x \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap [0,1]$. Ahora, considera el conjunto $$R_{M} := \{ r \in \mathbb{Q} : r = \frac{p}{n}, n \leq M, p \leq n, p \in \mathbb{N} \}.$$ Claramente este conjunto es finito, enuméralo como $\{q_1,\ldots, q_m\}$. Deja $$\eta(x,\frac{1}{M}) = \min_{i=1,\ldots, m} |x- q_i|.$$ Entonces vemos que, $|f(x) - f(y)| < \frac{1}{M}$ en este vecindario de $\eta$.
Después de elegir ese $\eta$ para que $x \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap [0,1]$, sea continua en un vecindario de $\eta$, vemos que $$ A:= [0,1] \setminus R_M \subset \left( \bigcup_{ x \in ( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \cap [0,1]} B_{\eta(x)} (x) \right) \cap [0,1].$$ Como $A$ es compacto, podemos tomar una sub-cubierta finita, y deja $\delta = \min \limits_{i=1,\ldots,n} \{\eta(x_i)\}$. Toma una partición $P_1$ de $A$ de manera que $\Delta x_i < \delta$. Dado que $R_M$ no está vacío, podemos tomar una partición $P_2$ de $R_M$ de manera que $\Delta x_i < \frac{\epsilon}{2m}.$ Además, vemos que, en $[0,1]$, $f$ es a lo sumo $1$. Deja $P = P_1 \cup P_2$. Así,
\begin{eqnarray*} \sum_{i \in P} M_i \Delta x_i &=& \sum_{i \in P_1} M_i \Delta x_i + \sum_{i \in P_2} M_i \Delta x_i \\ &\leq& \frac{1}{M} \sum_{i \in P_1} \Delta x_i + \sum_{i \in P_2} \Delta x_i \\ &<& \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{eqnarray*}
¿Comentarios?
EDITADO Creo que resolví el problema.
