Base ortonormal de $\mathbb{C}^{r}$

Question

Tengo que demostrar que $\{f_1,f_2,..,f_r\}$ es una base ortonormal de $\mathbb{C}^{r}$ donde:

$f_j=\frac{1}{\sqrt{r}}(1,e^{2i\pi\frac{j-1}{r}},e^{4i\pi\frac{j-1}{r}},...,e^{2(r-1)i\pi\frac{j-1}{r}})$

para $j$=1,2,...,r

No tengo idea de cómo empezar

Answer 1

En primer lugar, tenemos $$ \langle f_j, f_j\rangle = \|f_j\|^2 = \frac{1}{r} \left(1+\left|e^{2i\pi\frac{j-1}{r}}\right|^2+\dots+ \left|e^{2(r-1)i\pi\frac{j-1}{r}}\right|^2\right) = \frac 1r r = 1 $$ Ahora, para $j \neq k$, define $\alpha = e^{2 \pi i(j-k)/r}$ y muestra que $$ \langle f_j, f_k \rangle = \frac 1r \left(1 + \alpha + \alpha^2 + \cdots + \alpha^{r-1} \right) = \frac 1r \frac{1-\alpha^r}{1-\alpha} $$ ¿Por qué esto es igual a cero?

Answer 2

Recuerda que el producto punto en los números complejos está definido de una manera especial. ¿Por qué no intentarlo primero con $r=2$ o $3$? Eso te dará $1/\sqrt{2}(1,1)$ y $1/\sqrt{2}(1,-1)$, que creo que estarás de acuerdo en que son vectores unitarios. Luego inténtalo con las raíces cúbicas de la unidad y recuerda que $e^{2i\pi/3}\overline{e^{2i\pi/3}}=1$ y deberías estar listo...