Sé que $\sin(x)$ se puede expresar como un producto infinito, y he visto pruebas de ello (por ejemplo, Producto infinito de la función seno). Encontré ¿Cómo pudo Euler crear un producto infinito para sinc usando sus raíces? que discute cómo Euler podría haber encontrado la ecuación, pero me pregunto cómo Euler pudo haberlo demostrado.
$$\sin(x) = x\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$$
Entonces, ¿cómo derivó Euler esto? He visto una prueba que requiere series de Fourier (algo que, supongo, Euler no conocía [formalmente]). También sé que esta ecuación se puede pensar intuitivamente, y es realmente cierto que tendrá las mismas raíces que la función seno, sin embargo no está claro que la función entera converja a la función seno. Entonces, incluso si Euler lo adivinó, ¿cómo se aceptó su prueba, para esta fórmula para calcular la función zeta para enteros pares?
$$\zeta(2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}$$
He revisado una prueba de este resultado, y requiere el producto infinito del seno.
Además, el problema de Basel (resuelto por él) también utilizó este producto infinito, y se hizo famoso por esta prueba, por lo que el producto infinito del seno podría haber sido aceptado por la comunidad matemática en ese momento.
