¿Cuándo converge una secuencia pseudo-Cauchy?

Question

Supongamos que $(x_n), (y_n)$ son secuencias crecientes y positivas tales que $(y_n)$ es una sucesión de Cauchy y $$x_{n+1}-x_n para todo $n\in\mathbb N$. ¿Entonces $(x_n)$ también es una sucesión de Cauchy?

Sé que $x_{n+1}-x_n\to 0$ no implica que $(x_n)$ sea de Cauchy, ¿pero la condición adicional dada arriba ayuda? Intenté escribir

\begin{align} x_m-x_n &=x_{m}-x_{m-1}+x_{m-1}-x_{m-2}+\ldots+ x_{n+1}-x_n \\\\ &< y_m-y_{m-2}+y_{m-1}-y_{m-3}+\ldots+y_{n+1}-y_{n-1} \end{align}

pero no pude proceder.

Answer 1

La idea es expresar $y_{n+1}-y_{n-1}$ como la suma de diferencias de elementos de la secuencia adyacentes: $$ x_{n+1}-x_n y por lo tanto $$ 0 \le x_{n+p}-x_n = \sum_{k=0}^{p-1}(x_{k+1}-x_n) < \sum_{k=0}^{p-1}(y_{k+1}-y_n) + \sum_{k=0}^{p-1}(y_n-y_{k-1}) \\ = (y_{n+p}-y_n) + (y_{n+p-1}-y_{n-1}) $$ para todo $n, p \ge 1$. Usa esto para mostrar que si $(y_n)$ es una secuencia de Cauchy entonces también lo es $(x_n)$.

Ten en cuenta que la condición de que $(y_n)$ es creciente no es necesaria para la demostración.